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Integral-Flächenproblem
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l.mandy
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Anmeldungsdatum: 26.05.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2006 - 18:19:05    Titel: Integral-Flächenproblem

Hallo!
Ich habe folgende Funktion gegeben: f(x)= x*ln(x^2)
Als Stammfunktion ist folgende gegeben: F(x)= 0,5*x^2*((lnx^2)-1)

Das Problem ist folgendes:
Gesucht ist der x-Wert für den der Flächeninhalt 0,25 beträgt. Dabei soll 0<x<1 gelten. Wie findet man den da den unteren Begrenzungswert für die Fläche raus? Oder gibt es hierfür einen anderen Lösungsansatz.

Vielen Dank für die Mühe!
Mandy
morpheus-85
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 780

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2006 - 18:59:00    Titel:

Mit Fläche meint man da doch, die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Tip: Die erste Begrenzung könnte dort sein, wo der Graph die x-Achse schneidet.
l.mandy
Newbie
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Anmeldungsdatum: 26.05.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2006 - 09:28:31    Titel:

Der Graph schneidet, die Abszisse bei 1, und x soll ja zwischen 0 und 1 liegen. Bei 0 ist die Funktion gar nicht definiert, wegen dem ln.
Ich dachte eigentlich, dass man die Aufgabe mit Hilfe von Grenzwertberechnungen lösen kann, aber irgendwie komme ich da auch auf kein richtiges Ergebnis.
morpheus-85
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 780

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2006 - 10:43:13    Titel:

Ok! Da hast Du recht. Ist nicht für x=0 definiert.

Ich habe den Graphen geplottet und aus dem Bild konnte man sehen, dass der Graph für x=0 eine Nullstelle besitzt. Man kann daher die Funktion stetig in x=0 fortsetzen. Nämlich f(0)=0. Das gleiche gilt für die Stammfunktion. Auch die hat in 0 eine Nullstelle.

Wie kann man das formal zeigen? Also ich kann das nur mit dem Satz von l'Hopital. Vielleicht gibt es acuh eine Abschätzung für den Logarithmus auf dem Interval zwischen 0 und 1. Mir fällt keine ein.

gruß

morpheus
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2006 - 12:28:23    Titel:

1) da für 0 < x <= 1 die Kurve f(x)= x*ln(x^2) = 2*x*ln(x) unterhalb der x-Achse verläuft, wird F(x)= 0,5*x^2*((lnx^2)-1) in diesem Bereich negativ sein.
2) Um die Flächenmasszahl der Fläche unter f(x) zu bekommen, muss also der Betrag von F(x) betrachtet werden, oder die Integrationsrichtung muss umgekehrt werden. Ich nehme die zweite Möglichkeit:

3) Gesucht ist der x-Wert für den der Flächeninhalt 0,25 beträgt

gebe diesem x-Wert den Namen a Arrow

zu lösen ist für 0 < a <= 1 die Gleichung

F(a) - F(1) = 0.25 Arrow
0.5*a² * ( 2*ln(a) - 1) + 0.5 = 0.25

Für a=1/2 hat die linke Seite den Wert 0.202....
Für a=1/3 hat die linke Seite den Wert 0.273....
Arrow
der gesuchte Wert für a liegt also zwischen 1/2 und 1/3...

Mit geeigneten numerischen Methoden kannst du nun a beliebig genau eingrenzen..... Very Happy
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