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Wer kann mir helfen!?
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kraemisch
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Anmeldungsdatum: 29.05.2006
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2006 - 13:25:22    Titel: Wer kann mir helfen!?

Ich soll folgende Ungleichungen lösen:

x²+y²+z²+xy+xz+yz>=0

und

xy+xz+yz<=x²+y²+z²

Kann mir vielleicht jemand von euch helfen?

Vielen Dank
MfG Kraemisch
glaess
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Full Member


Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 193

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2006 - 14:41:41    Titel:

Die Aufgabe kommt mir irgendwie bekannt vor...

Binomische Formel rückbilden bei der ersten! dann hast du 3 bin. formeln als Summanden dastehen,, und das ich definitiv größer gleich null!
Winni
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 29 Mai 2006 - 16:29:21    Titel:

Hallo !

Fall 1 : x²+y²+z²+xy+xz+yz>=0
Fall 2 : xy+xz+yz<=x²+y²+z²

(x+y+z)² = x²+y²+z²+2(xy+xz+yz) >= 0 für alle x,y,z

Fall 1 mit xy+xz+yz >= 0 entspricht Fall 2 mit xy+xz+yz <= 0 .
Fall 1 mit xy+xz+yz <= 0 entspricht Fall 2 mit xy+xz+yz >= 0 .

x²+y²+z²+(xy+xz+yz) >= 0 für xy+xz+yz >= 0 ist trivial
x²+y²+z²-(xy+xz+yz) >= 0 für xy+xz+yz <= 0 ist trivial

x²+y²+z²+(xy+xz+yz) >= (x+y+z)² >= 0 für xy+xz+yz <= 0


z²+x²+y²-(xy+xz+yz) >= 0 für xy+xz+yz >= 0 :

Drei beliebig gewählte Zahlen x,y,z können stets so angeordnet werden,
dass x<=z,y<=z oder x>=z,y>=z

(z-x)(z-y) >= 0
z²+xy >= xz+yz
z²+2xy >= xy+xz+yz

Erster Fortsetzungsfall: xy > 0 -> x/y+y/x >= 2
z²+xy(x/y+y/x) >= xy+xz+yz
z²+x²+y² >= xy+xz+yz
z²+x²+y²-(xy+xz+yz) >= 0

Zweiter Fortsetzungsfall: xy <= 0 -> z² >= z²+2xy
z² >= xz+yz+xy
Addiere x²+y²-(xz+yz+xy)
z²+x²+y²-(xy+xz+yz) >= x²+y² >= 0
z²+x²+y²-(xy+xz+yz) >= 0


Ich kann mich natürlich irgendwo verschrieben haben,
also bitte nicht einfach glauben, sondern Schritt für
Schritt prüfen und ggfs. verbessern.
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