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Bestimmung ganzrationaler Funktionen
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Blackbird1987
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Anmeldungsdatum: 02.06.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 20:51:07    Titel: Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Halli Hallo ich hab mal eine Frage zu folgender Aufgabe:

Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 4, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist, durch den Punkt P(0/2) geht und in Q (1/0) eine Tangente mit der Steigung m (m ungleich -4) hat.

Also ich hab erstmal angefangen mit:

f(x)=ax^4+cx^2+e
f'(x)=4ax³+2cx
f''(x)=12ax²+2c

dann habe ich angefangen Bedingungen aufzustellen und da habe ich:

P(0/2) ist Punkt des Graphen also f(0)=2 --> e=2
Q(1/0) ist Punkt des Graphen also f(1)=0 --> a+c+e=0

Aber jetzt fehlt mir ja noch eine dritte Bedingung und da weiß ich nicht wie ich das machen soll! Würd mich echt freuen wenn mir jemand helfen könnte! Vielen Dank schon mal!

Gruß Ela (Blackbird1987)
morpheus-85
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 780

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 21:04:37    Titel:

Die dritte Bedingung sagt, dass wie groß die Steigung in Q ist. Die Zahl m ist vorgegeben und du berechnest alle Funktionen, die diese Bedingung erfüllen.
Halozination
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Anmeldungsdatum: 24.02.2006
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 22:02:01    Titel:

edit-.-
ich hab mich bischen verlesen.. 4 mit gleich 4 verwechselt


Zuletzt bearbeitet von Halozination am 02 Jun 2006 - 22:10:00, insgesamt 3-mal bearbeitet
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
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BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 22:07:04    Titel:

Steigung m in Q.

f'(1) = m; 4a + 2c = m

Gleichungssystem:

1) a+c+2 = 0 <=> a+c = -2 /*2 --> 2a + 2c = -4
2) 4a + 2c = m

3) = 2) - 1)

2a = m+4 / :2
a = (m+4) / 2 in 1)

c = -2 - a = -2 -(m+4) / 2

f_m(x) = (m+4)/2 * x^4 + (-2 -(m+4) / 2) * x² + 2

Gruss:


Matthias
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
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BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 22:09:31    Titel:

Halozination hat folgendes geschrieben:

... durch den Punkt P(0/2) geht und in Q (1/0) eine Tangente mit der Steigung m (m ungleich -4) hat.

3. f'(1)= -4


kann ja sein, dass ich einen Knick in der Optik habe, aber es sollen alle Funktionen bestimmt werden, Du hast nur eine bestimmt.

Dein Ansatz mit den Bedingungen ist richtig, aber f'(1) = m nicht f'(1) = -4, denn m <> -4 !!! Hier muss die Steigung allg. in Abhaengigkeit von m angegeben werden.

Gruss:


Matthias
Halozination
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Anmeldungsdatum: 24.02.2006
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 22:10:30    Titel:

ich hab schon editiert, hab mich verlesen..
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
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BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 22:11:10    Titel:

habs grad gesehen, nachdem das posting durch war ;-)
Halozination
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Anmeldungsdatum: 24.02.2006
Beiträge: 138

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 22:30:05    Titel:

Matthias20 hat folgendes geschrieben:

1) a+c+2 = 0 <=> a+c = -2 /*2 --> 2a + 2c = -4
2) 4a + 2c = m

3) = 2) - 1)

2a = m+4 / :2
a = (m+4) / 2 in 1)


f_m(x) = (m+4)/2 * x^4 + (-2 -(m+4) / 2) * x² + 2

bei 3) = 2) - 1) müsste das 2a = m-4 sein und a = (m-4) / 2

=> f_m(x) = (m-4)/2 * x^4 + (-2 -(m-4) / 2) * x² + 2
Blackbird1987
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Anmeldungsdatum: 02.06.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 23:24:45    Titel: Danke

Vielen Dank! Habt mir echt geholfen! Auf die idee bin ich überhaupt nich gekommen das man auch einfach =m schreiben kann! Also danke

Gruß Ela
Blackbird1987
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Anmeldungsdatum: 02.06.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2006 - 23:46:06    Titel: gleich noch ne frage

Embarassed

Hallo noch mal ich hab gleich noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe dieser Art. Würd mich echt freuen wenn ihr mir nochmal helfen könntet.

Die Aufgabe lautet:

Gibt es eine ganzrationale Funktion vom Grad 4, deren Graph durch A (3/27) geht und den Tiefpunkt T (0/0) und den Hochpunkt H (2/16) hat?


Mein Lösungsansatz:

Allgemein:

f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+e
f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d
f''(x)=12ax²+6bx+2c

Speziell für diese Aufgabe:

A(3/27) ist Punkt des Graphen also f(3)=27 --> 81a+27b+9c+3d+e=27
T(0/0) ist Punkt des Graphen also f(0)=0 --> e=0
H(2/16) ist Punkt des Graphen also f(2)=16 --> 16a+8b+4c+2d+e=16
T(0/0) ist Extrempunkt also f'(0)=0 --> d=0
H(2/16) ist Extrempunkt also f'(2)=0 --> 32a+12b+4c+d=0


Gleichungssystem

1) 81a+27b+9c=27
2) 16a+8b+4c=16
3) 32a+12b+4c=0

Und mit diesem Gleichungssystem hab ich das Problem ich bekomms einfach nich gelöst wäre echt nett wenn mir jemand sagen könnte ob das vielleicht schon falsch aufgestellt ist oder wenn nicht wie ich es lösen kann!

Vielen Dank schon mal

Gruß Ela
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