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Vollständige Induktion
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guitarman
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Anmeldungsdatum: 03.06.2006
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 10:09:32    Titel: Vollständige Induktion

Hallo,

folg. Aufg. verwirrt mich: Confused
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folg. Gleichung gilt:
(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 +...+(1/2)^n = 2-(1/2)^n

Mein Lösungsversuch:
Behauptung gilt für n=1 ein

(1/2)^1 = 2-(1/2)^1
1/2 ist ungleich 1.5
Bin also bereits hier gescheitert. Sad Mein ihr die Aufgabenstellung ist falsch?

Eine weitere Aufg. die mich verwirrt: Confused
Zeige mit Hilfe der vollst. Induktion, dass für jed positive ganze Zahl n gilt:
1²+2²+3²+...+n²=1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n

Mein Lösungsversuch:
n=1
1²=1/3 1³ + 1/2 1² + 1/6 1=1 soweit so gut
> damit n E N
schritt 2: Aus der Richtigkeit der Formel für n folgt die Richtigkeit für n+1
=1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n + (n+1)²
=1/3 n³ + 3/2 n² + 13/6 n + 1
=**dieser Zwischenschritt fehlt mir, oder brauche ich den etwa nicht?**
=1/3 (n+1)³ + 1/2 (n+1)² + 1/6 (n+1)
Brauche ich den Zwischenschritt etwa nicht? wenn ja, wie komme ich von der einen gleichung zur lösung ?

Danke schon mal im Voraus, Very Happy
guitarman
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 10:35:13    Titel:

(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 +...+(1/2)^n = 2-(1/2)^n Arrow

da - wie du sicher siehst - die "Zählung" hier mit n=0 beginnt (siehe linke Seite),
musst du für n=1 Folgendes verifizieren:

(1/2)^0 + (1/2)^1 Question = Question 2-(1/2)^1 Wink
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 10:45:41    Titel:

zweites Problemchen:

1²+2²+3²+...+n²=1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n Arrow

bring die rechte Seite doch zuerst auf den Hauptnenner:

1²+2²+3²+...+n²= [ n(n+1)(2n+1) ] / 6

schritt 2: Aus der Richtigkeit der Formel für n folgt die Richtigkeit für n+1 Arrow
also müsstest du zeigen, dass gilt:

1²+2²+3²+...+n² + (n+1)² = [n(n+1)(2n+1)] / 6 + (n+1)² Question = Question [(n+1)(n+2)(2n+3)] / 6 Wink
guitarman
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Anmeldungsdatum: 03.06.2006
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 14:15:42    Titel:

Hallo mathefan,

danke für die schnelle antwort. komme leider immer noch nicht weiter.
1. aufg.
das hier habe nun kapiert Razz
(1/2)^0 + (1/2)^1 = 2-(1/2)^1
aber beim 2. schritt happerts wieder beim Zwischenschritt
=2-(1/2)^n + (1/2)^0 + (1/2)^(n+1)
=2-(1/2)^n + 1 + (1/2) + (1/2)^n
=7/2 -(1/2)^n + (1/2)^n
=**???Zwischenschritt??**
=2-(1/2)^(n+1)

2.aufg.
ich soll also die rechte seite auf den Hauptnenner bringen
=[2n³+3n²+1n] /6
=**??gibt es ein gesetz oder regel, um von
2n³+3n²+1n nach hier > n(n+1)(2n+1) zu gelangen???

= [ n(n+1)(2n+1) ] / 6

Ein verzweilfter Anfänger bedankt sich schon mal Sad
Hyperion
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 623

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 19:22:12    Titel:

Da mich deine Fragen irritieren, rechne ich einfach mal vor, dann wirst du deinen Fehler schon finden.

Nr. 1
Zeigen, dass es für n = 0 gilt:

(1/2)^0 = 2 - (1/2)^0

Stimmt. Jetzt gilt es zu zeigen, dass die Formel für n+1 auch gilt; es ist also zu zeigen:

2 - (1/2)^n + (1/2)^(n + 1) = 2 - (1/2)^(n+1) |-2

-(1/2)^n + (1/2)^n*(1/2) = - |+(1/2)^n*(1/2)

(1/2)^n*(-1/2-1/2+1) = 0

0 = 0

Also stimmt die Behauptung.

Nr.2

Zeigen, dass es für n = 0 gilt:

0² = 1/3*0³+1/2*0²+1/6*0

Stimmt. Jetzt gilt es zu zeigen, dass die Formel für n+1 auch gilt; es ist also zu zeigen:

1/3*n³ + 1/2*n² + 1/6*n + (n+1)² = 1/3*(n+1)³ + 1/2*(n+1)² + 1/6*(n+1)

1/3*n³ + 1,5n² + 13/6*n + 1 = 1/3*n³ + n² +n + 1/3 + 0,5n² + n + 1/2 + 1/6*n + 1/6

1/3*n³ + 1,5n² + 13/6*n + 1 = 1/3*n³ + 1,5n² + 13/6*n + 1

0 = 0

Also stimmt die Behauptung.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 19:28:17    Titel:

Beh:
(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 +...+(1/2)^n = 2-(1/2)^n

der zweite Schritt geht im Prinzip so:

wenn das richtig ist für n, dann müsste daraus folgen, dass die entsprechende Form für n+1 gilt.
also wirst du erwarten, dass dann auch gilt:
(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 +...+(1/2)^n +(1/2)^(n+1)= 2-(1/2)^(n +1)

Weg:
Gehe aus von
(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 +...+(1/2)^n = 2-(1/2)^n

addiere dazu zunächst auf beiden Seiten (1/2)^(n+1)
(dann steht auf der linken Seite schon mal der gewünschte Ausdruck):

(1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 +...+(1/2)^n +(1/2)^(n+1) = 2 - (1/2)^n + 1/2)^(n+1)

so, jetzt musst du schauen, ob es dir durch Umformen gelingt, den Ausdruck auf der rechten Seite noch in die gewünschte Form zu bringen :

zu zeigen ist also, ob gilt : 2-(1/2)^n + 1/2)^(n+1) Question = Question 2-(1/2)^(n +1)

das kannst du so machen:
2-(1/2)^n + 1/2)^(n+1) = 2 - (1/2)^n * [ 1 - 1/2 ] = 2 - (1/2)^n *(1/2) = 2 - (1/2)^(n +1) Very Happy
guitarman
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Anmeldungsdatum: 03.06.2006
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 21:35:31    Titel:

Hallo ,

mathefan:
ich habe jetzt beide aufgaben endlich kapiert, danke Razz
Aber kannst du mir bitte die umformung von:
1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n
nach hier:
[ n(n+1)(2n+1) ] / 6
detailliert zeigen? ich komme einfach nicht drauf Crying or Very sad

Hyperion:
deine rechenwege konnte ich bestens nachvollziehen. super danke Smile

Ciao,
guitarman
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2006 - 21:49:55    Titel:

1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n Arrow n/6 ausklammern :

(n/6)*( 2n² + 3n +1 ) Arrow
jetzt noch:
( 2n² + 3n +1 ) mit einer der bekannten Möglichkeiten als Produkt zweier Linearfaktoren darstellen:
Arrow ( 2n² + 3n +1 ) = (n +1)(2n + 1)

(wenn du willst kannst du dann zur Sicherheit ja auch noch die Proberechnung durchführen, dh (n +1)(2n + 1) ausmultiplizieren...usw...)

Ergebnis also:
1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n = [ n(n+1)(2n+1) ] / 6
OK Question
guitarman
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Anmeldungsdatum: 03.06.2006
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2006 - 10:03:39    Titel:

hi mathefan,

super vielen dank. jetzt habe ich`s endlich kapiert Very Happy
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