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Substituieren?
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Bastianboecking
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Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 20:07:34    Titel: Substituieren?

Kann mir jemand einfach anhand irgend eines beispiels erklären wie man substituiert?
mathehasser
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Anmeldungsdatum: 26.02.2006
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 20:23:17    Titel:

bin zwar nicht gerade der Mathe-Experte aber ich versuche es trotzdem einmal.

Beispiel:

5 x^4 + 3x^2 - 2 = 0

x^2 = z

5z^2 + 3z - 2 = 0
5z^2 + 3z = 2

.... normal die Gleichung mit Hilfe von PQ-Formel oder quadratischer Ergänzung auflösen....

.
.
.

z= 2/5 oder z = -1

x^2 = z

x^2 = 2/5 oder x^2 = -1

Jetzt noch die Wurzel ziehen.
Fertig!
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 20:39:15    Titel:

Hallo !

Meinst Du die Substitution fürs Integrieren ???

Du kennst sicherlich die Kettenregel (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) .
Wir wissen also, dass das Integral(f'(g(x))g'(x))dx = f(g(x)) + C ist.

Hier kann man die Substitution sehr gut nachvollziehen.
Sei u:=g(x).
=> du = g'(x)dx und somit dx = du/g'(x) .

Integral(f'(g(x))g'(x))dx = Integral(f'(u)g'(x))(du/g'(x))
= Integral(f'(u)g'(x)/g'(x))du = Integral(f'(u))du = f(u) + C = f(g(x)) + C .


Beispiel: f(x) = x²/(3x+4)³
u:=3x+4 => x=(u-4)/3 und du=3dx => dx=du/3
=> Integral(x²/(3x+4)³)dx = Integral(((u-4)/3)²/u³)du/3
= (1/3³)Integral((u-4)²/u³)du = (1/3³)Integral((u²-8u+16)/u³)du
= (1/3³)Integral(1/u-8/u²+16/u³)du
= (1/3³)[Integral(1/u)du - 8*Integral(1/u²)du + 16*Integral(1/u³)du]
= (1/3³)(ln|u| + 8/u - 8/u²) + C
= (1/3³)(ln|3x+4| + 8/(3x+4) - 8/(3x+4)²) + C

Test durch Ableitung. Viel Spass ! Wink
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 20:41:36    Titel:

substituiren bedeutet "ersetzen".
das gibt es in vielen bereichen der mathematik, also nicht NUR beim Lösen von einfachen Gleichungen (wie oben).

In vielen anderen Threads hier findet man z.b. das substituieren beim integrieren. Das sieht dann schon wieder ganz anders aus, auch wenn der Sinn des ->Ersetzens<- doch immer der gleiche bleibt:
Man will etwas so vereinfachen, das man es (leichter oder überhaupt) berechnen kann.

Bsp:

sin²(x²+3x-4)+4*sin(x²+3x-4)-3=0
sieht erstmal böse aus, aber wenn man sin(x²+3x-4) durch z ersetzt dann sieht das so aus:

z²+4z-3=0

was ja mit abc-formel oder pq-formel recht einfach zu berechnen ist.

nur bedenke: man muss am ende natürlich immer resubstituieren (zurück-ersetzen)!

wenn du hier die Lösungen raus hättest, dann wüsstest du was z ist, aber eigentlich wird ja x gesucht.
Bastianboecking
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Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 21:04:00    Titel:

Ich hab versucht diese aufgabe nachzuvollziehen. was mich sehr viel mühe gekostet hat und im grunde genommen würde ich bei einer neuen aufgabe gar net richtig wissen was ich amchen soll. gibt es keine einfachere regel, habe schon im buch geschaut aber irgendwie mache ich eine aufgabe und wenn ich dan ndie nächste machen will klappt es nicht.
Evtl- an einem leichteren bsp. oder wie gehe ich an so eine aufgabe ran. u und du/ dx das kann ich ja meist noch aufstellen ,aber was ich danach machen soll weiss ich nicht.
Bastianboecking
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Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 21:13:52    Titel:

ich versteh auch nicht was f(x) und was g(x) sein soll poder darf ich das einfach wählen aber wen nich das in die fomel einsetze komtm das irgendwie nicht hin? egal ob der zähler oder nenner z.b f(x) ist.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 21:24:02    Titel:

Beginne erst einmal damit, den Leuten hier im Forum zu sagen,
worauf sich bei Dir die Substitution bezieht.

Wenn das Integrieren gemeint ist, dann hast Du mit dem Beispiel x²/(3x+4)³,
das ich Dir hingeschrieben habe, exakt das, was Du dazu verstehen
musst. Das mit der Kettenregel kannst Du ja weglassen, wenn es Dir zu "unkonkret" ist.

Das Wichtigste beim Beispiel:
u:=3x+4 => x=(u-4)/3 und du=3dx => dx=du/3

Mit "dx" und "du" formst Du linear um, als wenn Du normale Variablen hättest.

Wie kommt man hier also zu du=3dx ???
Erklärung: u=3x+4 => du/dx=(3x+4)'=3 => du=3dx
Bastianboecking
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Anmeldungsdatum: 11.06.2005
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2006 - 21:40:13    Titel:

danke, das hab ich sehr gut verstanden.. und wie geht es dann weiter?

P.S ja ich meine integrieren.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2006 - 07:49:34    Titel:

Du ersetzt "x" durch den Ausdruck mit "u" und entsprechend das "dx"
durch den Ausdruck mit "u" und "du" .
Dann umformen, bis man elementare Ausdrücke hat,
die man gut integrieren kann.
Nachdem man das Integrieren durchgeführt hat, das "u" durch den
Ausdruck aus "x" ersetzen. Vielleicht gibt es dann noch etwas
zum Zusammenfassen, das ist aber dann nur noch der übliche Kleinkram,
den man ggfs. auch weglassen kann.

Mach Dir ein eigenes Beispiel und probiers aus.
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