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Vollständige Induktion
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 18:43:45    Titel:

Und? Du hast doch die I.A. gar nicht angewandt Smile
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 19:00:55    Titel:

Bin wohl ein wenig verplant heute. Vielleicht sollte ich erst mal die Aufgabe lesen, bevor ich mich ans rechnen mach.

Also auf ein neues:

Da
11^(n+1) + 12^(2n-1) durch 133 teilbar ist, kann man auch schreiben:

11^(n+1) + 12^(2n-1) = z * 133 (wobei z eine ganze zahl ist)

11^(n+1) = z * 133 - 12^(2n-1)

Dann folgt
11 * 11^(n+1) + 144 * 12^(2n-1) = 11* (z * 133 - 12^(2n-1)) + 144 * 12^(2n-1) = 11*z*133 + 133 * 12^(2n-1) = 133 * (11*z + 12^(2n-1))

da z und 12^(2n-1) ganze zahlen sind, ist das ergebnis durch 133 teilbar.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 19:08:02    Titel:

habe was ähnliches auf meinem Blatt, habe aber nicht weitergerechnet. Cool.
Josch
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 19:20:45    Titel:

also bis hier ist ja alles noch verständlich (11* (z * 133 - 12^(2n-1)) + 144 * 12^(2n-1))
aber wie kommst du dann von dem 11* (z * 133 - 12^(2n-1)) + 144 * 12^(2n-1) auf den 11*z*133 + 133 * 12^(2n-1) Schritt???
das leuchtet mir überhaupt nicht ein...brauche die aufgabe auch!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 20:32:16    Titel:

Teilbarkeit in Ringen ist definiert dadurch, dass

a | b genau dann, wenn es ein k existiert mit a * k = b

Anbei: Man sieht, für das ganze ist die Anwesenheit multiplikativer inversen irrelevant.

In diesem Fall sagt die I.A.

----- paste -----

11^(n+1) + 12^(2n-1) durch 133 teilbar ist, kann man auch schreiben:

11^(n+1) + 12^(2n-1) = z * 133 (wobei z eine ganze zahl ist)

----- paste ----

Das wäre sogar äquivalent mit noch'am Quantor vorne.
Ein paar Umformungen:


----- paste ----

11^(n+1) = z * 133 - 12^(2n-1)

----- paste ----

Jetzt ersetzt Du das linke gegen das Rechte in deinem Schritt. Und dann lauter Ausmultipliziererei. Wichtig ist die Interpretation vom Ergebnis:

133 * (11*z + 12^(2n-1))

Das was du da hast ist 133 * k

für k = 11*z + 12^(2n-1)

also

133 k = .... nach links .... = 11 * 11^(n+1) + 144 * 12^(2n-1)

Das heisst per Def.

133 teilt 11 * 11^(n+1) + 144 * 12^(2n-1)
Josch
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 01:02:04    Titel:

danke aber das hab ich noch verstanden!!!
es geht genau um die um formung von 11* (z * 133 - 12^(2n-1)) + 144 * 12^(2n-1) zu 11*z*133 + 133 * 12^(2n-1)!!!

xaggi hatte das geschrieben:
Dann folgt
11 * 11^(n+1) + 144 * 12^(2n-1) = 11* (z * 133 - 12^(2n-1)) + 144 * 12^(2n-1) = 11*z*133 + 133 * 12^(2n-1) = 133 * (11*z + 12^(2n-1))

ich weiß nich wie er auf das unterstrichene nach irgendeiner umformung kommt...entweder hab i total das brett vorm kopf oder da stimmt doch was nich....wo is die 144*12^(2n-1) hin??und wo zb das 11*- 12^(2n-1) was beim ausmultiplizieren doch da sein muss und warum auf einmal zweimal eien 13??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 22:32:16    Titel:

Ich sage nur 144 - 11 = 133 dazu. Smile Rechne mal nach.
V.L.i.1.S.
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 23:28:17    Titel:

Hey Josch,

wenn du die Aufgabe auch brauchst, studierst du dann zufällig in Essen? Wink

Also, noch mal ab Induktionsschritt:

11^[(n+1)+1] + 12^[2(n+1)-1] = 11·11^(n+1) + 12^(2n+2-1) =

11·11^(n+1) + 144·12^(2n-1) = 11· [11^(n+1) + 12^(2n-1)] + 133·12^(2n-1)

Das Entscheidende ist, aus dem ersten Summanden eine 11 und aus dem zweiten 12² nach Potenzgesetz herauszulösen, damit man dort wieder die Induktionsannahme erkennt und verwenden kann.

Zum "Ergebnis": Der erste Summand ist laut Induktions-Annahme durch 133 teilbar, und der zweite, weil da 133 mal eine natürliche Zahl steht.

greetz
V.L.i.1.S.
Fuzzel
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Anmeldungsdatum: 17.04.2005
Beiträge: 397

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 21:31:14    Titel:

Alle guten Dinge sind bekanntlich 3 und deswegen brauche ich die Aufgabe auch. Very Happy
Studiere aber ausnahmsweise nicht in Essen. Cool
Arveleg
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Anmeldungsdatum: 08.02.2006
Beiträge: 1
Wohnort: Leoben

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2006 - 15:03:58    Titel: Probleme mit der Anwendung der vollständigen Induktion

Grüß euch

Ich hab auch ein Problem mit der vollsrändigen Induktion.
Ich denk zwar ich hab das gröbste verstanden, aber irgendwie check ich nicht, wie die immer auf die Umformungen kommen.

Ein Beispiel:

Start: A>0 = richtig
Induktionsvoraussetzung: A(0), A(1), ...., A(n) sind richtig
Induktionsbehauptung: A(n+1) ist richtig

a0 =1

an+1 = a0 +a1 + a2+...an / n+1

Vorbehauptung:

an+1 = 1+1+1+1 / n+1 = n+1/n+1 =1

an = 1

a1 = a0 / 1

a2 = (a0 + a1) / 2 = (1+1)/2 =1

Wie kommen die auf an=1
Aus der Formel wäre es doch an+1 = 1

oder überhaupt schon zu n+1/n+1?!?

I steig jetzt ins 2. Smester der Montanuni ei und das ist der Stoff des 1. Smesters.
Sollt ich bis zum Anfang des Studiums irgendwie kapieren.
Wäre froh über eure Hilfe.

Mfg Martin
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