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F: Wahrheitsfunktionen
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wenzel
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Anmeldungsdatum: 28.03.2006
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2006 - 21:46:08    Titel: F: Wahrheitsfunktionen

Hi,

Ich hab ein Problem mit einem Beispiel.

Ich habs mir angesehen und angesehen, nur weiß ich überhaupt nicht, wie man an die Sache herangeht.

Bin für jede Anregung und Hilfe dankbar.

Beispiel:


Danke,
Wenzel
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 12:02:49    Titel:

Ich weiß nicht, inwieweit Du überhaupt schon verstanden hast, worum es geht. Um nicht gleich alles vorwegzunehmen, tasten wir uns also ein bisschen an die Sache ran, ok? Wink

Ist Dir die Definition von f_neg und f_* soweit klar? Das sind die einfachen logischen Operatoren, wobei wahr und falsch als 1 und 0 ausgedrückt ist. Es ist also z.B.
f_neg(0)=1 und f_neg(1)=0, gleichbedeutend mit neg0=1 und neg1=0.
Weiterhin kannst Du für * obige Operatoren einsetzen und kriegst dann z.B.
f_^(0,0)=0, f_^(0,1)=0, f_^(1,0)=0, f_^(1,1)=1, gleichbedeutend mit 0^0=0, 0^1=0, 1^0=0 und 1^1=1.

Soweit klar?

Jetzt hast Du bei a) die Funktion g1(x,y)=x+y.
Eine Wertetabelle ergibt:
g1(0,0)=[0+0]mod2=0
g1(0,1)=[0+1]mod2=1
g1(1,0)=[1+0]mod2=1
g1(1,1)=[1+1]mod2=0.

Deine Aufgabe besteht jetzt also darin, die gleichen Werte zu bekommen, wenn Du nur die Negation und das logische Und verwendest. Weiß nicht, ob es auch einfacher geht, aber das ist z.B. der Fall, wenn Du
neg[neg(negx^y)^neg(x^negy)]
nimmst. Diese Formel brauchst Du jetzt bloß noch in die "Sprache" von f_neg und f_^ zu übersetzen. Damit das Chaos bei der Schreibweise hier nicht zu groß wird, schreib ich statt f_neg(x) mal n(x) und statt f_^(x,y) schreib ich u(x,y). Damit haben wir also:
g1(x,y)=n{u(n[u(n(x),y)],n[u(x,n(y)])}.

Die anderen Funktionen gehen genauso: Werte aufschreiben, ausprobieren, wie man sie mit "und" und "neg" ausdrücken kann und dann mit den fs aufschreiben. Wenn Du Hilfe brauchst, meld Dich. Very Happy

Für den Beweis bei b) hab ich nicht so die Lust, es fehlt mir die zündende Idee...

c) ist im Prinzip so ähnlich wie a), nur dass Du jetzt halt nicht "und" und "neg" benutzen darfst, sondern das Dreieck.
Die Operation (Dreieck) an sich ist oben definiert als
0 Dreieck 0 = 1, 0 Dreieck 1 = 0, 1 Dreieck 0 = 0 und 1 Dreieck 1 = 0.

Als Beispiel wie so eine Lösung aussehen könnte, hier mal g1(x,y). Dabei schreib ich jetzt nur f statt f_Dreieck, denn es kommt ja kein anderes f mehr vor:

g1(x,y)=f{f[f(x,x),f(y,y)],f(x,y)}.

Blickst Du noch durch? Wink Hak nach, wenn was unklar ist! Man muss ein bisschen knobeln, aber dann sind alle Funktionen machbar. Viel Spaß! Very Happy
wenzel
Newbie
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Anmeldungsdatum: 28.03.2006
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 15:07:52    Titel:

Wow Danke.
Hab alles verstanden.

Du bist der Beste.

Danke,
Wenzel
Peneli
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 15:21:37    Titel:

wenzel hat folgendes geschrieben:
Du bist der Beste.

Danke für die Blumen. Very Happy ("die" Wink )

Hast Du die anderen Funktionen hinbekommen?
Peneli
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2006 - 17:19:46    Titel:

Mir ist was zu dem Beweis von b) eingefallen. Very Happy

Es müsste reichen, wenn Du begründest, dass sich jede der geforderten Funktionen mit Hilfe der Negation und des Und darstellen lässt (Oder und Implikationen kann man äquivalent in Ausdrücke nur mir Und und Neg umformen).
Diese wiederum sind mit der Dreiecksfkt. f ausdrückbar:

neg x == f(x,x)
x^y == f(f(x,x),f(y,y))

Damit lassen sich dann alle Fkt. darstellen.
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