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L'Hospital
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Bembel80
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Anmeldungsdatum: 04.04.2006
Beiträge: 360

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:26:29    Titel: L'Hospital

Hallo!

Bei folgender Aufgabe steige ich nicht durch:

lim x^(tan(x))
(x pfeil nach unten 0)

könnte mir bitte jemand erklären wie das geht?
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:30:51    Titel:

x^tan(x) oder x/tan(x). Weil bei ersterem nützt l'Hospital nix.
Bembel80
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Anmeldungsdatum: 04.04.2006
Beiträge: 360

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:31:55    Titel:

x^(tan(x))

bist du dir sicher?
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:33:51    Titel:

Ja. Bei x^tan(x) kannst du ja einfach 0 einsetzen und dann hast dus schon. 0^0=1.

Gruss
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:41:42    Titel:

Nein, das stimmt so nicht, auch wenn das Ergebnis richtig ist. Aber es gilt nicht immer "0^0"=1!!!

Stattdessen nimmt man tatsächlich de l'Hospital:
Man schreibt x^tanx um zu e^(tanx*lnx). Jetzt berechnet man den Grenzwert des Exponenten:
lim (tanx*lnx) = lim (lnx/(1/tanx)) = ... = lim (-1-tan^2(x)) * lim (tan^2(x)/x) = -1*0=0.
Das wiederum setzt man oben ein und bekommt e^0=1.
Bembel80
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Anmeldungsdatum: 04.04.2006
Beiträge: 360

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:42:30    Titel:

es beutet doch, das die fkt sich von rechts 0 annähert, oder? wieso kann ich dann einfach null einsetzen? wie kann ich das begründen?
Bembel80
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Anmeldungsdatum: 04.04.2006
Beiträge: 360

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:44:28    Titel:

@Peneli: Könntest du mir deine Zwischenschritte nochmal erleutern?
KexDose
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:47:32    Titel:

grenzwert ist 1...habe eben nachgerechnet....und bei 0^0 ist der lim nicht immer 1!!!!!!!
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 17:53:26    Titel:

x^tanx = e^[ln(x^tanx)] = e^[tanx*lnx].

lim (tanx*lnx) = lim (lnx/(1/tanx)) = {jetzt de l'Hospital, also ableiten} lim [1/x]/[-1/tan²x -1] = lim [tan²x]/[x(-1-tan²x] = lim (-1-tan²x) * lim (tan²x/x) = {beim ersten lim 0 einsetzen, beim zweiten wieder de l'Hospital} -1 * lim [2tanx(1+tan²x]/[1] = -1*0=0.

Und damit wieder e^0=1.

Klar?


Zur Verdeutlichung, dass 0^0 nicht immer 1 sein muss, mal ein simples Beispiel:
lim[x gegen +0] (x^(1/lnx)) = "0^0".
Schreibt man es um, erhält man = lim e^[1/lnx * lnx] = lim e^1 = e. Very Happy
Bembel80
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Anmeldungsdatum: 04.04.2006
Beiträge: 360

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 18:18:44    Titel:

Ihr Freaks Wink

Besten Dank an euch!!
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