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Großes Problem?
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Rosenfranzi
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Anmeldungsdatum: 20.04.2006
Beiträge: 92

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 20:54:40    Titel: Großes Problem?

Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe:

12 Blumen verschiedener Sorte sollen so verteilt werden, dass 3 in die 1. Vase, 5 in die 2. Vase und 4 in die 3. Vase kommen.
Auf wie viele Arten kann dies geschehen?
Sijulator
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 102
Wohnort: Sachsen-Anhalt

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 21:03:13    Titel:

Hallo

Zitat:

12 Blumen verschiedener Sorte sollen so verteilt werden, dass 3 in die 1. Vase, 5 in die 2. Vase und 4 in die 3. Vase kommen.



(12 über 3)*(9 über 5)*(4 über 4) = 220 * 126 * 1= 27720
schon ne ganze Menge Smile

Um das kurz zu erklären, ...
3 aus 12 Blumen ( Reihenfolge egal ) können in die erste Vase. Bleiben noch 9 übrig. Von denen sollen 5 in die 2. Vase. Für die restlichen 4 bleibt demnach nur noch eine Möglichkeit. Sollte eigentlich stimmen Smile

Das Schlüsselwort hier heißt also Binomialkoeffizienten.

MfG
Siju
Rosenfranzi
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Anmeldungsdatum: 20.04.2006
Beiträge: 92

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 21:07:55    Titel:

Wie rechnet man denn nochmal 12 über 3?
12! : 3! ???
Sijulator
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 102
Wohnort: Sachsen-Anhalt

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 21:12:30    Titel:

Nicht so ganz,

(n über k) gibt dir die Möglichkeiten, aus einer Menge n, k Elemente auszuwählnen, wobei die Reihenfolge egal ist.

Du errechnest dies entweder mit deinem Taschenrechner - viele besitzen eine solche Funktion - oder damit :

(n über k) = n!/((n-k)!*k!)

Hoffe geholfen zu haben

MfG
Siju
Rosenfranzi
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Anmeldungsdatum: 20.04.2006
Beiträge: 92

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 21:25:03    Titel:

Danke! Du hilfst mir damit sehr!
Du kannst mir bestimmt auch bei dieser Aufgabe helfen:

Beim Pferderennen muss man die ersten 3 ins Ziel einlaufenden Pferde von 18 Pferden vorhersagen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit errät man
a) die ersten 3 Pferde
b)die ersten 3 in richtiger Reihenfolge
c) 2 der ersten 3 Pferde?
Sijulator
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 102
Wohnort: Sachsen-Anhalt

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 21:55:55    Titel:

Ok ... wir kommen hier jetzt zum Bereich der Hypergeometrischen Verteilung.

Für die Teilaufgabe a) benötigst du die Gesamtmöglichkeiten, aus 18 Pferden 3 auszuwählen. Das wären (18 über 3). Da Die Reihenfolge egal ist und nur eine Möglichkeit zutreffen kann, so sollte die Wahrscheinlichkeit 1/(18 über 3) betragen.

Teilaufgabe b) schließt die richtige Reihenfolge mit ein. Die Wahrscheinlichkeit muss dementsprechend kleiner sein als bei a).
Die Gesamtmöglichkeiten ergeben sich durch 18*17*16.
Hier beträgt die Wahrscheinlichkeit dann 1/(18*17*16).

In c) kommt nun die Hypergeometrische Verteilung zum tragen.
Wir müssen hier beachten, dass nur 2 von 3 Pferden richtig sein müssen. Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu

((3 über 2)*(15 über 1))/(18 über 3)

Prinzipiell müsste dies stimmen, vielleicht ist es auch nicht ganz richtig. Dennoch bin ich mir recht sicher. Wörtlich übersetzt bedeutet dies. 2 Richtige aus den 3 ersten auszuwählen und die mit einem Falschen aus den 15 verbleibenden zu kombinieren. Geteilt durch die Gesamtmöglichkeiten ergibt dies dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit für c).

MfG
Siju
Rosenfranzi
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Anmeldungsdatum: 20.04.2006
Beiträge: 92

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2006 - 22:12:11    Titel:

Ich bin ja so froh, dass ich dich noch getroffen habe! Wir schreiben nämlich am Mittwoch ein Klausur!

Ich habe noch eine letzte Aufgabe. Vielleicht kannst du sie ja lösen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben unter 4 zufällig ausgewählten Schülern mindestens 2 am gleichen Wochentag Geburtstag?
Sijulator
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 102
Wohnort: Sachsen-Anhalt

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2006 - 10:37:04    Titel:

Hallo,

Diese Aufgabe hast du hier doch schon gestellt Wink

Zitat:

sum(binomialPF(4,1/365,x),x=2..4)
oder
1-sum(binomialPF(4,1/365,x),x=0..1)

mit binomialPF(n,p,k)=(n tief k)*p^k*(1-p)^(n-k).

Gruss


Zitat:

Häääääääääääääääääääääääääää??????????????????


Anhand deiner Reaktion gehe ich mal davon aus, dass ihr noch keine Bernoulli-Formel benutzt.

Die oben genannte Lösung ist bis auf die Wahrscheinlichkeit richtig. Da es bekanntlich nur 7 Wochentage gibt beträgt sie 1/7. Wink
Ich versuche mal das anhand eines Baumdiagramms zu schildern, für den Fall, dass genau 2 Schüler von 4 am selben Tag Geburtstag haben.
Dabei werde ich sehr ausführlich an die Sache gehen, damit du ein Verständnis aufbauen kannst Wink

Gehen wir so an die Aufgabe handelt es sich also um ein vierstufiges Zufallsexperiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Wochentag beträgt also 1/7, die Gegenwahrscheinlichkeit 6/7. In der 2., 3. und 4. Stufe sind die Wahrscheinlichkeiten ebenfalls so verteilt, so dass sich ein 16-pfadiges Baumdiagramm ergeben würde. Für unser Ereignis - genau 2 Schüler am selben Wochentag - musst du nun die Pfade suchen, die genau 2 mal die Wahrscheinlichkeit 1/7 aufweisen. Du müsstest genau 6 Pfade finden.

1/7 * 1/7 * 6/7 * 6/7
+ 1/7 * 6/7 * 1/7 * 6/7
+ 1/7 * 6/7 * 6/7 * 1/7 ====> vereinfacht ergibt dies 6 * (1/7)^2*(6/7)^2
+ 6/7 * 6/7 * 1/7 * 1/7
+ 6/7 * 1/7 * 6/7 * 1/7
+ 6/7 * 1/7 * 1/7 * 6/7

Um sich diese wirklich zeitaufwendige Suche und das Baumdiagramm zu ersparen kannst du die Binomialkoeffizienten nutzen, die dir die Anzahl der Möglichkeiten wiedergeben. Für unser Ereignis - genau 2 von 4 Schülern - ergibt sich: (4 über 2)*(1/7)^2*(6/7)^2.

So nun zurück zur tatsächlichen Aufgabe. Gesucht war die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Schüler, die am selben Wochentag Geburtstag haben. Das schließt also die Möglichkeit von 3 und 4 Schülern, die am selben Wochentag Geburtstag haben mit ein.
Demnach gehst du genauso vor, wie wir es oben gemacht haben, nur in Bezug auf 3 und 4 Schüler. Letztlich brauchst du die Wahrscheinlichkeiten nur noch addieren und erhälst die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Damit ergibt sich ausführlich:

P(mindestens 2 von 4 Schülern) = (4 über 2)*(1/7)^2*(6/7)^2 + (4 über 3)*(1/7)^3*(6/7)^1 + (4 über 4)*(1/7)^4*(6/7)^0

oder über das Gegenereignis
P(mindestens 2 von 4 Schülern) = 1 - [(4 über 3)*(6/7)^3*(1/7)^1+ (4 über 4)*(6/7)^4*(1/7)^0]

Das währe also die ausführliche Lösung, die im Prinzip genau dieselbe ist, wie die quotierte. Diese ganze Rechnerei nennt man Bernoulli-Formel, die auf jedes Experiment mit 2 Ausgängen anwendbar ist, derren Wahrscheinlichkeiten sich auch beim erneuten ausführen nicht ändern. In unserem Fall währen das die Wahrscheinlichkeiten 1/7 und die Gegenwahrscheinlichkeit 6/7.

Ich nehme aber an, dass ihr das noch besprechen werdet. Wink

Siju
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