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Stetigkeit
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heiko2006
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2006 - 10:34:41    Titel: Stetigkeit

hallo ich brauche Hilfe!!!
ich muss zeigen,dass die folgenden Funktionen gleichmäßig stetig sind:
1) f1:R-->R, x-->1/1+|x|

2) f2:(-a,a)-->R, x-->x^2, hiebei a aus R fest

3) f3:R-->R, x-->x^3/1+x^2.

danke vorraus
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2006 - 11:32:12    Titel:

1) f(x)=1/(1+|x|)

Sei eps>0. Dann wähle delta(eps)=eps. Somit gilt für |x-y|<delta:
|f(x)-f(y)|=|1/(1+|x|)-1/(1+|y|)|=|[|y|-|x|]/[(1+|x|)(1+|y|)]|. (1)
Zum einen ist der Nenner >=1, zum anderen gilt ||y|-|x||<=|y-x|=|x-y|.
Damit ist (1) <=|x-y|<delta=eps, also
|f(x)-f(y)|<eps.

2) f(x)=x² auf (-a;a).

Sei eps>0. Dann wähle delta(eps)=eps/(2a). Somit gilt für |x-y|<delta:
|f(x)-f(y)|=|x²-y²|=|(x+y)(x-y)|=|x+y||x-y|<=2max{|x|,|y|}*|x-y|<2a|x-y|<2a*delta=eps, also
|f(x)-f(y)|<eps.

3) f(x)=x^3/(1+x²)

Sei eps>0. Dann wähle delta(eps)=eps. Somit gilt für |x-y|<delta:
|f(x)-f(y)|=|x^3/(1+x²)-y^3/(1+y²)|=|[x^3(1+y²)-y^3(1+x²)]/[(1+x²)(1+y²)]|=|(x-y)(x²+xy+y²)/[(1+x²)(1+y²)]|. (2)
Es gilt die binomische Ungleichung |ab|<=1/2(a²+b²). Damit bekommen wir (a=xy, b=1)
x²+xy+y²<=x²+y²+|xy|<=x²+y²+1/2((xy)²+1)<=x²+y²+(xy)²+1=(1+x²)(1+y²).
Mit dieser Ungleichung kann man (2) abschätzen:
(1) <=|x-y|<delta=eps, also
|f(x)-f(y)|<eps.
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