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Krengel Beweis: tschebyschew Ungleichung
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(Pi)
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Anmeldungsdatum: 22.06.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 22 Jun 2006 - 18:38:29    Titel: Krengel Beweis: tschebyschew Ungleichung

Hallo,

ich habe Probleme mit dem Beweis der Tschebyschew Ungleichung wie sie im Krengel bewiesen wird. Vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen:

Sei (Omega, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X eine reel oder komplexwertige Zufallsvar. mit endl. Varianz. Dann gilt f�r jedes epsilon > 0:

P(|X-EX|>=epsilon) <= Var(X)/epsilon^2

Beweis: Sei Z = X-EX.
Setze Y(omega)=0 f�r omega mit |Z(omega)|<epsilon
Setze Y(omega)=epsilon^2 f�r omega mit |Z(omega)|>=epsilon.
Dann ist Y<=|Z|^2

also

Var(X)=E(|Z|^2) >= E(Y)=epsilon^2 P(Y=epsilon^2)=epsilon^2 P(|X-EX|>=epsilon)

Teilt man das durch epsilon^2 kommt man wieder auf die Tschebschewsche Ungleichung, aber wieso ist E(|Z|^2)
>=E(Y) ?

ich hoffe ihr k�nnt mir weiterhelfen
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 22 Jun 2006 - 19:01:28    Titel:

Das gilt wegen Y<=|Z|².

Der Erwartungswert ist doch folgendermaßen definiert:
E(X)=int[Omega](X)dP.
Integrale sind monoton, das heißt, wenn X<=Y, dann int[Omega](X)dP<int[Omega](X)dP, also E(X)<=E(Y).
(Pi)
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Anmeldungsdatum: 22.06.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 24 Jun 2006 - 11:55:29    Titel:

Ähm

Kannst du das irgendwie für Nichtmathematiker erklären?

Dem kann ich nicht folgen Sad
Peneli
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 25 Jun 2006 - 20:50:52    Titel:

Deine Frage war doch nur, wieso E(|Z|²)≥E(Y) gilt, oder?

Oben wurde bereits festgestellt, dass |Z|²≥Y. Ich bin davon ausgegangen, dass Du das verstanden hattest.

Der Erwartungswert ist durch das Integral
E(X)=int[Ω](X)dP
definiert. Oder habt Ihr das anders gemacht?

Jetzt muss man wissen, dass Integrale monoton sind. Das bedeutet schlicht und einfach das, was ich schon geschrieben habe. Ist eine Fkt. kleiner als eine andere, ist auch ihr Integral (über denselben Raum und dasselbe Maß) kleiner als das der zweiten. Und damit auch ihr Erwartungswert.

Hier also:

Y≤|Z|² → int[Ω](Y)dP≤int[Ω]([Z]²)dP → E(Y)≤E(|Z|²).

Jetzt verständlich?
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