Krengel Beweis: tschebyschew Ungleichung

(Pi) · Newbie Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 2

Hallo,

ich habe Probleme mit dem Beweis der Tschebyschew Ungleichung wie sie im Krengel bewiesen wird. Vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen:

Sei (Omega, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X eine reel oder komplexwertige Zufallsvar. mit endl. Varianz. Dann gilt fï¿½r jedes epsilon > 0:

P(|X-EX|>=epsilon) <= Var(X)/epsilon^2

Beweis: Sei Z = X-EX.
Setze Y(omega)=0 fï¿½r omega mit |Z(omega)|<epsilon
Setze Y(omega)=epsilon^2 fï¿½r omega mit |Z(omega)|>=epsilon.
Dann ist Y<=|Z|^2

also

Var(X)=E(|Z|^2) >= E(Y)=epsilon^2 P(Y=epsilon^2)=epsilon^2 P(|X-EX|>=epsilon)

Teilt man das durch epsilon^2 kommt man wieder auf die Tschebschewsche Ungleichung, aber wieso ist E(|Z|^2)
>=E(Y) ?

ich hoffe ihr kï¿½nnt mir weiterhelfen

Peneli · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.06.2006 Beiträge: 2223

Das gilt wegen Y<=|Z|².

Der Erwartungswert ist doch folgendermaßen definiert:
E(X)=int[Omega](X)dP.
Integrale sind monoton, das heißt, wenn X<=Y, dann int[Omega](X)dP<int[Omega](X)dP, also E(X)<=E(Y).

(Pi) · Newbie Anmeldungsdatum: 22.06.2006 Beiträge: 2

Ähm

Kannst du das irgendwie für Nichtmathematiker erklären?

Dem kann ich nicht folgen Sad

Peneli · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.06.2006 Beiträge: 2223

Deine Frage war doch nur, wieso E(|Z|²)≥E(Y) gilt, oder?

Oben wurde bereits festgestellt, dass |Z|²≥Y. Ich bin davon ausgegangen, dass Du das verstanden hattest.

Der Erwartungswert ist durch das Integral
E(X)=int[Ω](X)dP
definiert. Oder habt Ihr das anders gemacht?

Jetzt muss man wissen, dass Integrale monoton sind. Das bedeutet schlicht und einfach das, was ich schon geschrieben habe. Ist eine Fkt. kleiner als eine andere, ist auch ihr Integral (über denselben Raum und dasselbe Maß) kleiner als das der zweiten. Und damit auch ihr Erwartungswert.

Hier also:

Y≤|Z|² → int[Ω](Y)dP≤int[Ω]([Z]²)dP → E(Y)≤E(|Z|²).

Jetzt verständlich?