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Kugelaufgabe
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Muecke
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Anmeldungsdatum: 20.08.2005
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2006 - 13:36:10    Titel: Kugelaufgabe

Hi,
wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, wie man diese Aufgabe löst.


Für welche Werte von k ist X1² + X2² + X3² - 2k X2 - 1,5k X3 - 10 X3 + k² = 0 die Gleichung einer Kugel?
Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius der Kugel.
Für welche Werte von k ist die X2 –Achse eine Tangente der Kugel?
dradiwaberl
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Anmeldungsdatum: 22.06.2006
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2006 - 14:10:28    Titel:

Ich verwende statt x1, x2, x3
besser x, y, z.

Durchs Ergänzen aufs vollständige Quadrat kannst du die Kugelgleichung so schreiben:

x²+(y-k)²+(z+(-0,75k-5))²=-k²+k²+(-0,75k-5)²

ergibt weiter

x²+(y-k)²+(z+(-0,75k-5))²=(9/16)k²+7,5k+25

Da die linke Seite größer Null ist, muss auch die rechte Seite größer Null sein. Also suche die Nullstellen des quadratischen Terms auf der rechten Seite.

Du erhältst nur eine, und zwar -20/3.
Das heißt, die durch die rechte Seite der Kugelgleichung bestimmte Parabel liegt komplett oberhalb der x-Achse, ist also für jeden Wert von k außer eben für -20/3 positiv.

Also hast du eine Kugel, wenn k eine reelle Zahl ist außer -20/3.

Mittelpunkt und Radius kannst du nun ablesen:
M(0/ k / 0,75k+5)
r=sqrt((9/16)k²+7,5k+25)

Damit die y-Achse Tangente an die Kugel ist, darf sie die Kugel nur in einem Punkt berühren. Schneiden wir also die y-Achse mit der Kugel und ermitteln k so, dass es nur eine Lösung gibt:

1) Parameterdarstellung der y-Achse:
x=0
y=t
z=0

2) Einsetzen in die Kugelgleichung:
(t-k)²+(-0,75k-5)²=(9/16)k²+7,5k+25
t²-2kt+k²+(9/16)k²+7,5k+25=(9/16)k²+7,5k+25
t²-2kt+k²=0
(t-k)²=0
t=k

Das heißt, egal welche Zahl du für k wählst, es gibt immer nur eine Lösung für t. Daraus folgt, dass die y-Achse immer Tangente ist, für jedes k außer -20/3.
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