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JoGa BoNiTo
Newbie
Anmeldungsdatum: 22.05.2006
Beiträge: 31
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 Verfasst am: 26 Jun 2006 - 13:26:58 Titel: Integral |
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Hallo Leute finde bei dieser aufgabe keinen Ansatz, weis auch nicht wie sie funktioniert, kann mir jemand helfen??
Aufagebe: Zeige:
1/pi * Integral(unten -pi, oben pi) cos(mx) * cos(nx) dx = 2 falls m=n=0 und 1 falls m=n!=0 und 0 falls m!=n
Gruß |
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Jockelx
Senior Member
Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3306
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 14:04:43 Titel: |
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Hi,
der Fall m=n=0 ist wirklich sehr einfach.
Das kannst du schonmal auf jeden Fall selber machen.
Den Rest schauen wir dann mal.
Jockel |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 14:22:49 Titel: |
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1. Fall: m=n=0.
cos(mx)=cos(nx)=1, also
1/π int[-π; π](cos(mx)cos(nx))dx
= 1/π int[-π; π](1)dx
= 1/π (π-(-π))
= 2.
2. Fall: m=n, m≠0.
I := 1/π int[-π; π](cos(mx)cos(nx))dx
= 1/π int[-π; π](cos²(mx))dx
Betrachte
int(cos²(mx))dx | Partielle Integration
= 1/m sin(mx)cos(mx) + int(1/m sin(mx) * m sin(mx))dx
= 1/m sin(mx)cos(mx) + int(sin²(mx))dx
= 1/m sin(mx)cos(mx) + int(1-cos²(mx))dx
= 1/m sin(mx)cos(mx) + x - int(cos²(mx))dx | +- int(cos²(mx))dx | :2
→ int(cos²(mx))dx = 1/(2m) sin(mx)cos(mx) + x/2.
→ I = 1/π [1/(2m) sin(mπ)cos(mπ) + π/2 - 1/(2m) sin(-mπ)cos(-mπ) + π/2]
= 1. (wegen sin(zπ=0 für alle ganzen Zahlen z)
3. Fall: m≠n. O.B.d.A. sei m≠0.
Betrachte
I := int(cos(mx)cos(nx))dx | Partielle Int.
= 1/m sin(mx)cos(nx) + n/m int(sin(mx)sin(nx)dx.
Wegen cos(mx-nx)=cos(mx)cos(nx)+sin(mx)sin(nx) gilt
I = 1/m sin(mx)cos(nx) + n/m int(cos(mx-nx)-cos(mx)cos(nx))dx
= 1/m sin(mx)cos(nx) + n/m * 1/(m-n) sin(mx-nx) - n/m int(cos(mx)cos(nx))dx. | Integral rüberbringen und durch Faktor teilen
I = 1/(m+n) sin(mx)cos(nx) + n/((m-n)(m+n)) sin(mx-nx).
Grenzen einsetzen ergibt wieder 0 wegen der sin-Terme.
→ 1/π int[-π; π](cos(mx)cos(nx))dx
= 0.
EDIT: Wenn ich mich nicht vertan habe, muss man bei 3. noch als Bedingung m≠-n hinzunehmen. Der Fall m=-n ist wegen der Symmetrie der cos-Funktion identisch mit dem Fall m=n.
EDIT2: Gehe davon aus, dass m und n natürliche Zahlen sind, da kann man diese Unterscheidung also weglassen, hätte nur in der Aufgabenstellung stehen müssen... |
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JoGa BoNiTo
Newbie
Anmeldungsdatum: 22.05.2006
Beiträge: 31
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 16:06:22 Titel: |
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Wie du schon angenommen hast, steht in der aufgabenstellung n,m elemnt N.
kannst du mir den dritten fall bitte nochmal erläutern, blick da grad nicht durch??
wär super!  |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 16:12:26 Titel: |
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| An welcher Stelle blickst Du nicht durch? |
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JoGa BoNiTo
Newbie
Anmeldungsdatum: 22.05.2006
Beiträge: 31
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 16:21:59 Titel: |
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Wie kommst du hier drauf:
I := int(cos(mx)cos(nx))dx | Partielle Int.
= 1/m sin(mx)cos(nx) + n/m int(sin(mx)sin(nx)dx.
und dann auf dieses hier:
Wegen cos(mx-nx)=cos(mx)cos(nx)+sin(mx)sin(nx) gilt |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 16:30:23 Titel: |
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| JoGa BoNiTo hat folgendes geschrieben: |
Wie kommst du hier drauf:
I := int(cos(mx)cos(nx))dx | Partielle Int.
= 1/m sin(mx)cos(nx) + n/m int(sin(mx)sin(nx)dx. |
Hab für die partielle Integration u'=cos(mx) gewählt und v=cos(nx).
Es gilt dann damit u=1/m sin(mx) und v'=-n sin(nx).
Partielle Integration heißt uv-int(uv'), also einfach einsetzen:
1/m sin(mx)cos(nx) - int(1/m*sin(mx)*(-n)*sin(nx)dx {Minus und Faktor aus dem Integral ziehen, die beiden stören dort bloß...}
= 1/m sin(mx)cos(nx) + n/m int(sin(mx)sin(nx))dx.
(Am Ende eine Klammer mehr setzen als ich zuvor.  )
| JoGa BoNiTo hat folgendes geschrieben: |
und dann auf dieses hier:
Wegen cos(mx-nx)=cos(mx)cos(nx)+sin(mx)sin(nx) gilt |
Das ist ein Additionstheorem:
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b). |
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JoGa BoNiTo
Newbie
Anmeldungsdatum: 22.05.2006
Beiträge: 31
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 16:48:08 Titel: |
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| wieso wendest du hier den Additionstherom an?? |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 16:54:39 Titel: |
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| JoGa BoNiTo hat folgendes geschrieben: |
| wieso wendest du hier den Additionstherom an?? |
Das ist mir so entgegengesprungen, wie das in der Mathematik nun mal so ist. 
Nein, es war nur so eine Idee, um folgendes Ziel zu erreichen:
Manchmal ist es so, dass man sich bei mehrfacher Anwendung der partiellen Integration im Kreis dreht, also am Ende auf einmal dasselbe dastehen hat wie am Anfang. Besonders trigonometrische Funktionen sind da berühmtberüchtigt dafür.
Deshalb versucht man, diese durch andere Ausdrücke zu ersetzen. Z.B. eben so, dass man eine Summe hat, bei der ein Summand derselbe ist wie das Ausgangsintegral (Faktor davor ist egal) und die restlichen kein Integral mehr enthalten oder elementar integrierbar sind.
Das hab ich hier durch das Add.theorem ereicht:
cos(mx-nx) ist leicht integrierbar, man kann das ja als cos((m-n)x) schreiben.
Und der Rest war unser Ausgangsintegral. |
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JoGa BoNiTo
Newbie
Anmeldungsdatum: 22.05.2006
Beiträge: 31
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 17:30:00 Titel: |
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meinst du mit dieser Zeile :
I = 1/(m+n) sin(mx)cos(nx) + n/((m-n)(m+n)) sin(mx-nx)
und zwar:
[1/(m+n) sin(mx)cos(nx)](unten-pie, oben: pie) + [n/((m-n)(m+n)) sin(mx-nx)](unten-pie, oben: pie) |
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Peneli
Senior Member
Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223
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| Verfasst am: 26 Jun 2006 - 22:38:45 Titel: |
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| Ja. Ich hatte die Grenzen weggelassen, weil es sonst ein unübersichtliches Gebilde geworden wäre. Konntest Dù das jetzt nachvollziehen? |
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