e-Funktion mit Parabel

$Kein-Plan$ · Newbie Anmeldungsdatum: 23.03.2006 Beiträge: 12

Hier versteh ich nur Bahnhof Confused

Gegeben sind Funktionen ga;b;c durch y=ga;b;c(x)=ae^-(bx+c)² , a,b,c, x€R, a,b>0
Zu diesen Funktionen gehört die Funktion g mit den Parameterwerten a=1, b=Wurzel aus 3 und c=0. Die Funktion f1 kann für weitere Funktionen ga;b;c eine Näherungsfunktion sein. Den Wert genau eines der Parameter F1 den gleichen Extrempunkt haben. Begründen Sie (ohne Rechung), welcher dieser drei Parameter verändert werden kann.

Ich versteh das echt nicht, bitte helft!!
Liebe Grüße

Turis · Verfasst am: 26 Jun 2006 - 21:12:26 Titel:

also du hast ne allgemeine funktion

g(x)=ae^(-(bx+c)²)

jetzt sollst du überlegen was du von den parametern (a,b,c) du verändern kannst ohne das sich viel am funktionsgraphen tut.

Ich würde sagen dass das a recht viel ausmacht, da es den Graphen entweder (bei positiven a) nach rechts bzw links verschiebt und bei negativen a ihn sogar an der x-achse spiegelt. Also a nicht verändern.

Am ehesten würde ich sagen c, weil eine Addition nicht so sehr den Exponenten vergrößert als die Multiplikation mit dem b.

mathefan · Verfasst am: 27 Jun 2006 - 01:25:32 Titel:

Hallo Turis , du schreibst:
"Ich würde sagen dass das a den Graphen entweder (bei positiven a) nach rechts bzw links verschiebt .." Sad

und ich schlage dir nun vor: setze einfach mal b=1, c=0, dann kannst du sicher leicht bei:
g(x)=a*e^(-x²)
die richtige Auswirkung von verändertem a auf den Graphen erkennen Smile

Auch die Auswirkungen einer Veränderung von c (-> Verschiebung parallel zur x-Achse) und von b (-> probiers selber aus) sind wohl etwas anders als du vermutest?

Nebenbei: die Frage von $Kein-Plan$ passt vermutlich eh nicht zu deiner Antwort Wink

Gruss

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Also ich verstehe die Aufgabe so, dass man sich überlegen soll, wie man am Besten eine Näherung für die Funktion ga,b,c bekommt.
Die Näherung soll einer Funktion 2-ten Grades hd,e,f entsprechen...

Also schauen wir uns die beiden Funktionen mal genauer an:

hd,e,f(x) = d * (x+e)^2 + f mit d,e,f,x€R

d bestimmt die Öffnungsrichtung, sowie den Grad der Streckung oder Stauchung der Parabel...
e bestimmt die seitliche, horizontale Verschiebung,
f hingegen die senkrechte, vertikale Verschiebung...

Soweit so gut... Jetzt kommt der Teil der schwerer ist:

ga,b,c(x) = a * e^-(bx+c)² mit a,b,c,x€R und a,b>0

a verändert die Ausdehnung der Funktion in y-Richtung
b verändert die Ausdehnung der Funktion in x-Richtung
c bestimmt die seitliche, horizontale Verschiebung...

Die Schwierigkeit besteht aus meiner Sicht darin,
dass bei der e-Funktion ein doppelt gemischter Term von b und c im Exponenten vorkommt, der ebenfalls Einfluss nimmt...

Ich würde für die gegebenen Werte a = 1 , b = sqrt(3) , c = 0
also g(x) = 1*e^(-(sqrt(3)*x+0)^2)
(Ausdehnung in y-Richtung 1, Verschiebung in x-Richtung 0)
eine Näherung in h mit d = -1 , e = 0 , f = 1 --> h(x) = -1 * (x+0)^2 + 1
nehmen...
Damit wäre der Extrempunkt derselbe...
Um dann noch dieselbe Krümmung zu bekommen müsste man mit d experimentieren...
d = -sqrt(5) oder d = -sqrt(7)

Dazu würde ich empfehlen einen Funktionsplotter aus der Datenbank zu verwenden und sich die verschiedenen Graphen mal anzuschauen...
_________________
Nur wer fragt dem wird geholfen
α β γ δ λ π σ φ √ ∫ Σ ∏ ∂ ∈ ∉ ≈ ≠ ∞ ± ≤ ≥ ⇐ ⇒ ⇔

mathefan · Verfasst am: 28 Jun 2006 - 00:06:14 Titel:

ga,b,c(x) = a * e^-(bx+c)²

für die gegebenen Werte a = 1 , b = sqrt(3) , c = 0

g(x) = e^(-3x²)

Nun scheint mir die Aufgabenstellung nicht so recht klar :

1) f(x)= 1-3x² wäre die Parabel, die im Extrempunkt von g(x) dieses g(x) optimal approximiert (dh: f(0)=g(0), f'(0)=g'(0) und f"(0)=g"(0) )
Aber ich glaube nicht, dass dies gefragt ist.

2) Aber die Frage scheint mir eher so:
g(x) = e^(-3x²) soll Näherungskurve für gewisse ga,b,c(x) = ae^-(bx+c)² sein, wobei einfach zu klären ist, welche der drei Parameter a,b,c nicht verändert werden dürfen, damit g(x) eben mögliche Näherung ist, so, dass die Kurven alle den gleichen Extrempunkt haben.
Wie wild_and_cool richtig schreibt, gilt:
a verändert die Ausdehnung der Funktion in y-Richtung
c bestimmt die seitliche, horizontale Verschiebung...
und damit würde die Veränderung dieser beiden Parameter die Lage des Extrempunktes verändern.
Ergebnis: Nur bei Veränderung von Parameter b bleibt die Lage des Extrempunktes unverändert.
Und damit heisst die richtige Antwort wohl:
Der genau eine Parameter, der verändert werden kann, wenn der Extrempunkt fest bleiben soll, ist der Parameter b .
Very Happy