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Äquivalenzrelation
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Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Okt 2004 - 23:59:45    Titel: Äquivalenzrelation

Bei einer Äquivalenzrelation handelt es sich ja um Elemente mit gleichen Eigenschaften oder?

Ich habe eine Aufgabe in diesem Zusammenhang.

Sei f: X --> Y, x --> f(x) eine Abbildung. Zeige, dass
R_f = {(x, x') element X x X | f(x) = f(x')} eine Äquivalenzrelation beschreibt.

Ich verstehe die Aufgabe so, dass ich beweisen soll bzw. zeigen soll, dass
x = x'
Aber das kann es ja nicht sein oder? Denn das wurde ja so definiert.
Rull
Gast






BeitragVerfasst am: 26 Okt 2004 - 09:15:09    Titel:

eine äquivalenzrelation ist ganz einfach eine relation die reflexiv symetrisch und transitiv ist...
(x,x') in Rf <=> f(x) = f(x')

1)reflexivität: für alle x in X gilt f(x) = f(x) <=> (x,x) in Rf

2) symetrie: für alle (x,y) in X x X gilt:
wenn (x,y) in Rf dann f(x) =f(y). also f(y) = f(x), also (y,x) in Rf

3)transitivität : für alle x,y, z in X gilt:
(x,y) in Rf und (y,z) in Rf => f(x) = f(y) und f(y) = f(z) =>f(x) = f(z) => (x,z) in Rf
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 26 Okt 2004 - 09:30:09    Titel:

Achso. Genau so steht das im Skript von der Vorlesung.

Vielen vielen lieben Dank Dir!!
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 26 Okt 2004 - 20:32:49    Titel:

zu der Aufgabe gibt es noch 2 Aufgabenteile die ich versucht habe mal zu machen..

b) Zeige, dass es genau eine injektive Abbildung von der Menge der Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation R_f nach Y gibt, so dass für jedes x element X die entsprechende Klasse [x] auf f(x) abgebildet wird. Diese Abbildung wollen wir mit [f] bezeichnen.

Kann ich es so zeigen ?
x1 ungleich x2, x1,x2 element R_f --> f(x1) ungleich f(x2)

c) Zeige, dass wenn f surjektiv ist, die Abbildung [f] bijektiv ist.

da f surjektiv ist, gilt y element f(x): es existiert ein x element X mit f(x)=y

Wenn die Abbildung [f]] bijektiv sein soll, dann muss ja f auch injektiv sein oder?
Rull
Gast






BeitragVerfasst am: 26 Okt 2004 - 20:52:29    Titel:

jein.... b) ist fast richtig... du musst ja zeigen dass [f] injetiv ist...
also

b) die menge der äquivalenzrelationen ist ja genau der quotient der menge X durch deine äquivalenz relation R_f, d.h X/R_f. definiere dann folgende funktion:
[f] : X/R_f -> Y
[x] -> [f] ([x]) = f(x)
desweiteren gilt ja (x,y) in R_f <=> y in [x] <=> [y] = [x] <=> f(x) = f(y) <=> [f]([x]) = [f]([y]) (wegen der definition von [f]) . also auch im besonderen: [f] ([x]) = [f] ([y]) => [x] = [y]
also ist [f] injektiv (und dabei ist es egal ob f injektiv ist oder nicht!)

c) wenn f surjektiv ist, dann gibt es für jedes y in Y ein x in X sodass y=f(x). aber da per definition f(x) = [f]([x]), bedeutet das dass es für jedes y in Y ein [x] in X/R_f gibt, sodass y = [f]([x]). also ist [f] surjektiv (wenn f surjektiv ist).
aber unter b) wurde gezeigt dass [f] immer injektiv ist (egal was f macht!). also ist [f] surjektiv und injektiv, und somit bijektiv
Rull
Gast






BeitragVerfasst am: 26 Okt 2004 - 20:53:50    Titel:

ups... am anfang von b) sollte es nciht heissen "die menge der äquivalenzrelationen", sondern natürlich die menge der äquivalenzklassen
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