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f´(x) = 0 ; f´´(x) = 0 und f´´´(x) = 0 | und nun?
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Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2006 - 21:10:31    Titel:

rumcajs007 hat folgendes geschrieben:
'zum schluss' noch ein satz. es erscheint mir schwierig nachzuweisen ob es sich eindetig um ein Sattelpunkt oder ein Extrempunkt handelt.

Das ist eigentlich gar nicht so schwierig...

rumcajs007 hat folgendes geschrieben:
Man stelle fest dass die n-te ableitung immer ungleich null ist und die 5te gleich null... entscheidend ist am ende die potenzzahl, ist diese gerade dann haben wir einen extrempunkt (ist die n-te ableitung grösser null -> min, kleiner null ->max.). ist diese jedoch ungerade, also x^3, x^5 usw. dann haben wir ein Sattelpunkt. Natürlich gilt immernoch dass die vorherigen ableitungen gleich null sein müssten. Traut sich jemand zu bestätigen ? Danke!

So kann man das nicht sagen. Kurz und bündig und vor allem richtig Wink steht es bei Wikipedia:

Zitat:
f sei (n + 1)-mal differenzierbar, und es gelte
und
(1) Falls n ungerade ist und f(n + 1)(x0) < 0 (bzw. f(n + 1)(x0) > 0), so hat f bei x0 ein relatives Maximum (bzw. Minimum).
(2) Falls n gerade ist, so hat f bei x0 kein lokales Extremum.
rumcajs007
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Anmeldungsdatum: 22.06.2006
Beiträge: 606
Wohnort: Hinter den Bergen

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2006 - 15:22:58    Titel:

...und ein relatives Maximum soll der Sattelpunkt sein ?
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2006 - 15:23:47    Titel:

rumcajs007 hat folgendes geschrieben:
...und ein relatives Maximum soll der Sattelpunkt sein ?

Nein!
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2006 - 11:29:56    Titel:

In den letzten Tagen schwirrte mir zu meinem Beweis noch eine Frage im Kopf herum, die ich jetzt mal angepackt habe.
Resultat: Ich muss mich korrigieren. Sowohl die Aussage, dass eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion, deren Ableitungen an einer Stelle sämtlich verschwinden, konstant sei, als auch mein Beweis dazu, ist falsch.

Begründung: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht jede glatte Funktion ist analytisch.

Was heißt das jetzt konkret?
f analytisch ↔ f hat in jedem Punkt Darstellung als Taylorreihe.
f glatt ↔ f ist in jedem Punkt beliebig oft differenzierbar.

Diese Aussagen sind nicht äquivalent, obwohl sie oft so benutzt werden.

Zur Verdeutlichung, dass jede analytische Funktion glatt ist:
f analytisch
→ f(x)=sum[k=0 bis ∞] [f^(k)(a)/k! * (x-a)^k]
→ f^(n)(a) existiert für alle n und alle a.
→ f ist glatt.

Die Umkehrung gilt wie gesagt nicht, wie folgendes Beispiel (als eines von vielen) deutlich macht:
Sei f(x)=e^(-1/x²) für x≠0 und f(0)=0.
Diese Funktion ist in allen Punkten (inkl. 0) unendlich oft stetig differenzierbar, also glatt.
Die Taylorreihe (um 0 entwickelt), würde bei Existenz aber lauten:
f(x)=sum[k=0 bis ∞] [f^(k)(0)/k! * x^k]=0,
was offensichtlich im Widerspruch zu der Funktion steht.

So, wollte das nur noch mal richtig stellen, auch wenn es mit der Ausgangsfrage nichts mehr zu tun hat. Very Happy
rumcajs007
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Anmeldungsdatum: 22.06.2006
Beiträge: 606
Wohnort: Hinter den Bergen

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2006 - 17:13:16    Titel:

hm, und was sagt das uns jetzt ? bitte kurz. Laughing
Zitat:
Ich muss mich korrigieren. Sowohl die Aussage, dass eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion, deren Ableitungen an einer Stelle sämtlich verschwinden, konstant sei, als auch mein Beweis dazu, ist falsch.


Question
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2006 - 18:57:17    Titel:

Das sagt uns jetzt, dass es auch nichtkonstante Funktionen mit Stellen gibt, wo alle Ableitungen verschwinden.
@rumcajs007: Kurz genug? Wink


Für das Ausgangsproblem der Extremstellensuche hilft dann die Betrachtung einer kleinen Umgebung. Wenn die erste Ableitung das Vorzeichen ändert, haben wir einen Extremwert, wenn sie das Vorzeichen nicht ändert, ist es keiner.

Auf obiges Bsp. bezogen:
Sei f(x)=e^(-1/x²) für x≠0 und f(0)=0.
f'(x)=2/x³*e^(-1/x²) für x≠0 und f'(0)=0.

Verdächtige Stelle ist also x=0. Höhere Ableitung bringen wie gesagt kein Ergebnis, also:
Links neben der 0 ist die erste Ableitung negativ, rechts von der 0 positiv. Daraus folgt, dass wir bei (0; 0) einen Tiefpunkt haben.
rumcajs007
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Anmeldungsdatum: 22.06.2006
Beiträge: 606
Wohnort: Hinter den Bergen

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2006 - 14:16:07    Titel:

nachdem ich mir die fkt. aufgezeichnent habe sehe ich jetzt was du meintest...stimmt, jede folgene ableitung hat an der stelle x=0 den Wert Null. aber das ist bei x³ ebenfalls der fall. Confused
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 17 Jul 2006 - 15:30:06    Titel:

rumcajs007 hat folgendes geschrieben:
aber das ist bei x³ ebenfalls der fall. Confused

Ja, aber bei x³ gibt es eine Ableitung, die an der Stelle 0 nicht 0 ist. Nämlich f'''(0)=6.
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