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Grenzwert von (1-x)*tan((Pi*x)/2)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Grenzwert von (1-x)*tan((Pi*x)/2)
 
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Wodka-RedBull
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Anmeldungsdatum: 11.06.2006
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2006 - 21:28:17    Titel: Grenzwert von (1-x)*tan((Pi*x)/2)

Hallo!

Ich moechte den Grenzwert von
(1-x)*tan((Pi*x)/2)

fuer lim x -> 1 berechnen.

wenn ich fuer x 1 einsetze dann ist
lim (1-1)=0
x->1

und

lim tan((Pi*x)/2) wenn ich da fuer 1 einsetze auch 0
x->1


maple sagt mir aber der grenzwert ist 2/Pi
warum?
Mfg
Timo
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 07 Jul 2006 - 07:20:18    Titel:

lim[x→1] tan((Pi*x)/2) = ±∞.
Das heißt, wir haben formal den Ausdruck "0*∞".

Schreiben wir das also um und benutzen de l'Hospital:

lim[x→1] (1-x)*tan(xPi/2)
= lim[x→1] (1-x)/[1/tan(xPi/2)] | jetzt de l'H. anwenden
= lim[x→1] -1/[-Pi/2*(1+tan²(xPi/2))/tan²(xPi/2)]
= lim[x→1] -tan²(xPi/2)/[-Pi/2-Pi/2*tan²(xPi/2)] | tan²(xPi/2) ausklammern
= lim[x→1] [tan²(xPi/2)*(-1)]/[tan²(xPi/2)*(-Pi/2tan²(xPi/2)-Pi/2)] | kürzen
= lim[x→1] -1/[-Pi/2tan²(xPi/2)-Pi/2] | x gegen 1 schicken
= -1/[0-Pi/2]
= 2/Pi.
Wodka-RedBull
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Anmeldungsdatum: 11.06.2006
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 07 Jul 2006 - 07:44:19    Titel:

ja aber warum geht
lim[x->1] tan(Pi*x/2)
gegen +- unendlich ???
Peneli
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 07 Jul 2006 - 07:53:49    Titel:

Wodka-RedBull hat folgendes geschrieben:
ja aber warum geht
lim[x->1] tan(Pi*x/2)
gegen +- unendlich ???

Schau Dir doch ein Bild der Tangensfunktion an! Bei Pi/2 ist die Funktion nicht definiert. Kommt der Graph von links, nähert er sich gegen +unendlich, von rechts geht er gegen -unendlich.

tanx=sinx/cosx und cos(Pi/2)=0. Deshalb die Polstelle bei Pi/2.
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