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Reziprokes Gitter: Abstand benachbarter Netzebenen
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morpheus-85
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 780

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2006 - 16:42:59    Titel: Reziprokes Gitter: Abstand benachbarter Netzebenen

Seien
______ a*, b*, c*
die reziproken Gittervektoren.

Kann mir jemand erkl�ren, wie man auf die Formel
______ d(hkl) = 2 Pi / | G |
kommt? G ist der reziproke Gittervektor. hkl sind die Millerschen Indizes. G = h a* + k b*+l c*

Konkret habe ich folgendes Problem:
a, b, c senkrecht
|a| = |b|= |c| = a
Die Netzebene schneidet die Kristallachsen bei 3 a, 1 b, 2 c.
h = p/1, k = p/1, l = p/2
p= kgV(3,1,2)
hkl= 263
Wenn man den Abstand mit der oben angegebenen Formel berechnet erhält man, nach etwas Umformen:

d = a/wurzel( h^2 + k^2 + l^2 ) = 0.143 a

Das kann doch nicht stimmen!

Wenn ich den Abstand mit elementarer Vektorrechnung bestimme komme ich auf d= 6*0.143 a = 0.858 a

Im Demtröder Band 3 Atome, Moleküle und Festkörper ist dieses Beispiel auf Seite 364 links unten und der erwähnte Beweis auf Seite 365. Bei diesem Beweis verstehe ich den letzten Schritt nicht.
Man hat d(hkl) = 2 Pi p / | G |
Dann steht da "Den kleinsten Abstand erhält man für p=1 ."

Nochmal warum darf man das machen?
R@W
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Anmeldungsdatum: 06.03.2005
Beiträge: 540
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BeitragVerfasst am: 11 Jul 2006 - 17:39:00    Titel:

wenn man die gittervektoren im realen raum in die reziproken umrechnet kommt nebst des kreuzporduktes und der nomierung auch ein faktor 2*pi dazu.
die reziproken gitervektoren haben als einheit die inverse laenge (das kommt durch die normierung).

wenn man jetzt den abstand einer netzeben haben will muss man den kehrwert des betrages des reziproken vektors nehmen und den aufgrund obiger definition mit 2*pi multiplizieren. der faktor p kommt aus der logischen schlussvolgerung das wenn der abstand einer netzebene 1nm waere natuerlich aufgrund der periodizitaet jegliche vielfache des abstandes ebefalls abstaende zwischen der selben netzeben sind.

herleiten des ganzen ist etwas schwierig, weil erstens sehr zeit aufwendig und zweitens mit dem ganzen kreuzprodukt etc. zu veranschaulichen.

wie hast du den abstand mit vektorechnung bestimmt, mir faellt auf anhieb nichts ein?
morpheus-85
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 780

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2006 - 21:49:57    Titel:

Die Gitterebene schneidet die Basisachsen in drei Punkten. Aus diesen drei Punkten kann man die Ebenengleichung aufstellen. Dann sucht man den Extremwert der Funktion d = wurzel( x^2 + y^2 + z^2 ) unter der Nebenbedingung "Ebenengleichung". So bekommt man d. Andere Möglichkeit: Man bestimmt des Dreiecks, was durch die drei Punkte bestimmt ist. Die Pyramide, die durch die Ebenen x=0, y=0, z=0 und die Gitterebene begrenzt wird, hat dann das Volumen: V= ein Drittel mal Fläche Dreieck mal d. Das Volumen des Tetraeders kann man auch bestimmen, indem man eine andere Grundfläche mal einer anderen Höhe nimmt. Somit bekommt man auch d.

Auf beide Wege habe ich dasselbe rausbekommen. Am Anfang habe ich mich etwas verrechnet, deshalb habe ich diese aufwändige Rechnerei gemacht.
R@W
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Anmeldungsdatum: 06.03.2005
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BeitragVerfasst am: 12 Jul 2006 - 07:25:01    Titel:

ja das leigt aber daran das du den abstand koordiantenursprung-ebene berechnet hast, nicht ebene-ebene!!
was du noch extra betrachten muesstest waere der abstand zu den naechten elementarzellen und den zu deinem abstand dazu addieren. dies wird dir aber nur einen abtand ausrechenen nache d=2*pi*p/G wobei das p bei dir dann unbestimmt waere.

deswegen geht man doch in das reziproke gitter. es ist die fourieranalyse des realen gitters und zeigt somit die periodizitaeten diese gitter auf. die periodizietaeten aus dem realen giter alle rausbekommen wird schwierig wenn es nicht gerade 100 oder 110 oder 111 ebenen sind (also mehr hab ich bei den modellen nicht erkannt)
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