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Ganzrationale Funktionen 3. Grades
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ganzrationale Funktionen 3. Grades
 
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Skasi
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Anmeldungsdatum: 02.08.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 07:38:24    Titel: Ganzrationale Funktionen 3. Grades

Hi.

Eine Freundin von mir hat am Monatg eine Nachprüfung in Mathe und ich habe mich bereit erklärt ihr zu helfen. Leider bin ich aus den Themen selber ein wenig raus und finde mich nich komplett wieder ein.

Mein Problem is im moment bei den ganzrationalen Funktionen 3. Grades.

und zwar die berechnung der Wendestellen.

aber bitte berrichtigt mich doch mal wenn ich falsch liege Smile

Extrema = 1. Ableitung bilden & p/q Formel anweden.
wenn x < 0 dann ein maximum und wenn x>0 dann ein minimum

Nullstellen Polynomdivision / Horner-Shema....



So nun aber zu meinem eigentlichen Problem.
Die Wendestellen! Wie komme ich da dran? Ich habe dannach etwas gegoogelt aber bin da nich wirklich draus schlau geworden...

Nachdem was ich gelesen haben wäre das die 2.Ableitung bilden und errechenne und das ergebniss in die 3. Ableitung setzten.

Aber dann habe ich doch nur ein ergebniss oder ?

Ich kann sowas immer an einem Beispiel gut sehn.. Auch wenn die Zahlen nu nich die besten sein mögen hier mal ein Beispiel term.

f(x) = 3x³ + 4x² + 6x +5
f'(x) = 9x² + 8x + 6
f''(x) = 18x + 8
f'''(x) = 18
f'''' (x) = 0


Also vielleicht kann mir ja jemand bei diesem kleinen Problem behilflich sein und es mir anhand dieses oder eines anderen Beispiels erklären....


Ich bedanke mich schoneinmal im Vorraus.

Take care,
Ska
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 07:55:59    Titel:

fuer die NST muss die hinreichende Bedingung 'f(x) = 0' erfuellt sein. Du hast recht, dass du die x-Werte entsprechend z.B. mit der Polynomdiv. berechnen kannst.

Extrema, hast du auch richtig erlaeutert. Formal:

f'(x) = 0 (es werden die Punkte gesucht, wo die Steigung m=0 ist)

f''(x) > 0 --> TP (Linkskruemmung)
f''(x) < 0 --> HP (Rechtskruemmung)

Wendestellen:

f''(x) = 0 (entsprechenden x-Wert berechnen und in f'''(x) einsetzen)

f'''(x) != (ungleich) 0 ; dann ist die Wendestelle bewiesen.
Wenn du den x-Wert der Wendestelle auch noch in f'(x) einsetzt und ebenfalls null rauskommt, handelt es sich um einen Sattelpunkt (also einen WP mit waagrechter Steigung m=0)

Und das nur ein WP bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades rauskommt ist richtig. Eine GF 3. Grades hat max. zwei Extremstellen und eine Wendestelle.

Gruss:


Matthias
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 07:56:38    Titel:

Den Wendepunkt erhält man, indem man die 2. Ableitung gleich Null setzt.
Das Ergebnis daraus wird in die 3. Ableitung für x eingesetzt.
Das Ergebnis hiervon muss ungleich Null sein, sonst ist kein Wendepunkt vorhanden.
Anschließend setzt man das Ergebnis aus der zweiten Ableitung in die Grundfunktion für x ein.
So erhält man die genauen Koordinaten des Wendepunktes.

Beispiel:
f(x) = 3x³ + 4x² + 6x +5
f'(x) = 9x² + 8x + 6
f''(x) = 18x + 8
f'''(x) = 18
f'''' (x) = 0

f''(x) = 0 --> 18x + 8 = 0 --> 18x = -8 --> x = -(8/18) --> x = -(4/9)
f'''( -(4/9) ) = 18 --> f'''( -(4/9) ) ≠ 0 --> WENDEPUNKT !!!

f( -(4/9) ) = -3*(4/9)³ + 4*(4/9)² - 6*(4/9) +5
f( -(4/9) ) = 695/243

Wendepunkt W( -4/9 | 695/243 )
Skasi
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Anmeldungsdatum: 02.08.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 08:10:26    Titel:

Matthias20 hat folgendes geschrieben:


Und das nur ein WP bei einer ganzrationalen Funktion dritten Grades rauskommt ist richtig. Eine GF 3. Grades hat max. zwei Extremstellen und eine Wendestelle.



ahhh gut zu Wissen *g*

[quote="wild_and_cool"]

f'''( -(4/9) ) = 18 --> f'''( -(4/9) ) ≠ 0 --> WENDEPUNKT !!!

[quote]

Oje ich sach ja ich hab immer so krumme zahlen.
Erm... also nur mal angenommen aus der 2Ableitung hätte ich ein x = 18 rausbekommen

dann wäre das ja f'''(1Cool = 18

und das is dann = 0 ? sehe ich das richtig oder ....?


und dann noch eine letzte frage. Ich bin ja eigentlich davon ausgegangen das die GF 3. grades und die des 4. Grades sich recht ähneln. Wenn ich nun also eine GF 4.Grades habe. wie komme ich dann auf 2 Wendestellen ?


Sorry wegen dem nerven am Frühen morgen aber ich will mich schon mal für die beiden schnellen antworten bedanken Very Happy
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 08:13:09    Titel:

Nein in Deinem Beispiel ist die dritte Ableitung
f'''(x) = 18
immer ungleich Null und damit liegt immer ein Wendepunkt vor.
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 08:15:30    Titel:

Skasi hat folgendes geschrieben:


dann wäre das ja f'''(18) = 18

und das is dann = 0 ? sehe ich das richtig oder ....?


deine dritte Ableitung besagt, dass f'''(x)=18 ist und somit siehst du gleich, dass es einen WP geben muss. Wenn du dann noch 18 einsetzt, ist 18 natuerlich ungleich (!=) null und somit auch nochmal den WP rechnerisch bewiesen.

Skasi hat folgendes geschrieben:

und dann noch eine letzte frage. Ich bin ja eigentlich davon ausgegangen das die GF 3. grades und die des 4. Grades sich recht ähneln. Wenn ich nun also eine GF 4.Grades habe. wie komme ich dann auf 2 Wendestellen ?


die aehneln sich alle irgendwie, die Polynomfunktionen.
Eine Funkt. vierten Grades kann max. drei Extremstellen und max. zwei WPs haben.

Gruss:


Matthias
Skasi
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Anmeldungsdatum: 02.08.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 08:29:51    Titel:

ah okay!
Nochmal danke euch beiden!

Ich denke jetzt sollte es wieder sitzen Very Happy

Einen schönen tag wünsche ich dann noch

bye, take care

Ska
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 11:02:23    Titel:

Warum die Mühe? Schlussendlich sollte doch bekannt sein :
Arrow Jede ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau einen Wendepunkt.

Für alle, die das bisher noch nicht realisiert haben:

Alle ganzrationalen Funktionen 3. Grades haben Gleichungen der Form:

Arrow f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

damit überhaupt eine kubische Parabel vorliegt ist entscheidend, dass die Vorzahl a vom x^3 nicht Null ist....

es ist dann allgemein f “(x)= 6*a*x + 2*b
und f “‘(x) = 6*a und damit ist f “‘(x) also garantiert nicht Null.
Arrow Der Wendepunkt (der für diese Parabeln ja auch der Symmetriepunkt ist) existiert also immer
und hat den x-Wert x= ( - b) / (3*a) Smile
Skasi
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Anmeldungsdatum: 02.08.2006
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 02 Aug 2006 - 12:14:13    Titel:

ahhhh... OK so gehts ja dann auch Razz
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 15:19:41    Titel:

"Begründen Sie, dass eine ganzrationale Funktion n-ten grades höchstens (n-2) Wendestellen besitzen kann."

Da steht nichts von nur 2 Wendestellen, sondern (n-2) Wendestellen.

Nimm mal an Du hast eine Funktion 2ten Grades und leitest diese ab.

f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a

Also hat eine Funktion mit Grad 2 - keine Wendestellen

Nimm mal an Du hast eine Funktion 3ten Grades und leitest diese ab.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

Also hat eine Funktion mit Grad 3 - maximal eine Wendestelle.
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