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FUnktionsgleichungen usw..ist sehr wichtig!
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> FUnktionsgleichungen usw..ist sehr wichtig!
 
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DeXoR
Gast






BeitragVerfasst am: 31 Okt 2004 - 22:17:46    Titel: FUnktionsgleichungen usw..ist sehr wichtig!

SO cih hab ein paar fragen...ich brauche so schnell wie möglcih eine antwort ich schreibe nämlich in ein paar tagen eine wichtige mathe-klausur und ich habe leider keinen plan von der sache...eigentlich sind meine fragen ganz einfach....also wäre nett wenn ihr mir alles schritt für schritt erklären könntet......
schonmal danke ihr könnt mir damit mein leben retten ist wirklich wichtig Laughing

hier zu meinen fragen:

1.Wie bestimme ich Funktionsgleichungen einer Geraden aufgrund zweier gegebener Punkte???

2. Wie bestimme ich die Funktionsgleichung aufgrund eines gegebenen Punktes und der gegebenen Steigung der Geraden????

3. Wie berechne ich FUnktionswerte linearer Funktionen durch einsetzen in den Funktionsterm???

4.Wie bestimme ich x-Werte zu gegebenen Funktionswerten (durch einsetzen und auflösen)???????

5. Wie bestimme ich die Umkehrfunktion zu einer gegebenen linearen Funktion????????

6. Wie bestimme ich den Abstand zweier gegebener Punkte???

7. Was ist die Steigung der Orthogonalen zu einer gegebenen Geraden???

8. Wie leite ich die Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden zu einer gegebenen Geraden durch einen bestimmten Punkt her???

so cih könnte noch tausende weitere fragen stellen aber das bringt ja auch ncihts...
so also es wäre nett wenn ihr mir die einzelnen punkte so genau wie möglcih erklären könntet...das wäre wirklich verdammt nett..es ist nämlcih wirklich wichtig für mcih also schonmal thx.....
Embarassed
Matthias20
Gast






BeitragVerfasst am: 31 Okt 2004 - 22:32:07    Titel:

Hi,

hier schon mal ein paar Anworten:

1. P1(x1 / f(x1)) P2(x2 / f(x2))

g = m*x + b

m = (f(x2) - f(x1) / x2 - x1)

dann nur noch P1 oder P2 in die gleichung g einsetzten nachdem Du das m bestimmt hast. Danach bestimmtst Du durch Einsetzten das b und kannst den Term aufschreiben.




2. m = steigung (bekannt) P(x / f(x)) f(x) = m*x + b

f´(x) = m

wenn Steigung bekannt ist, kannst Du es wie bei 1. machen, einfach den Punkt einsetzten um b zu bestimmen.



4. wenn die x-wert nullstellen sind, dann einfach f(x) = 0 setzten und dann nach x aufloesen (ausklammern, polynomdivision, ....)


7. Orthogonale ist die Normale einer Geraden, also:

m (normale) = -1 / m (gerade) oder f´(x)


8. .... wie bei 7 auch, dann aber in f´(x) die X-Koordiante des geg. Punktes einsetzten, dann bekommst Du die Steigung der Normalen / Orthogonalen. Zum Schluss wie bei 1 und 2 auch - den Punkt noch mal die Gleichung der Normalen (gleiche Gleichung wie bei Tangente g= m*x + b) nach b aufloesen und die gleichung noch mal richtig hinschreiben.


Hoffe, dass hilft Dir erstmal.
Ciao
algebrafreak
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2004 - 22:43:02    Titel:

Du müsstes ein rotes Wunderbuch besitzen, genannt Formelsammlung, wo all diese Fragen beantwortet werden.Smile Ich gehe davon aus du willst alles für R^2 bzw. R -> R haben.

1.Wie bestimme ich Funktionsgleichungen einer Geraden aufgrund zweier gegebener Punkte???

Punkte (x1,y1) ungleich (x2,y2). Gleichung:

f(x) = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + (y1*x2-x1*y2)/(x2-x1)

2. Wie bestimme ich die Funktionsgleichung aufgrund eines gegebenen Punktes und der gegebenen Steigung der Geraden????

Punkt (x1,y1), Steigung m. Gleichung:

f(x) = mx + y1 - m * x_1

3. Wie berechne ich FUnktionswerte linearer Funktionen durch einsetzen in den Funktionsterm???

Durch formale Substitution. Ersetze jedes Vorkommen der Unbekannten durch den Wert in Klammern und wende anschliessend die Rechengesetze deiner Grundstruktur Smile

4.Wie bestimme ich x-Werte zu gegebenen Funktionswerten (durch einsetzen und auflösen)???????

Diese Aufgabe ist nicht trivial und in manchen Fällen sogar unlösbar. Zu allgemein gestellt.

5. Wie bestimme ich die Umkehrfunktion zu einer gegebenen linearen Funktion????????

f(x) = mx + t
f^(-1)(x) = 1/m * x - t/m

falls m ungleich 0

6. Wie bestimme ich den Abstand zweier gegebener Punkte???

Abstand ist ein abstrakter Begriff und hängt von der gegebenen Metrik ab Smile Für die euklidische Metrik in R^2 ist der Abstand von (x1,y1) und (x2,y2) gegeben durch

sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)

7. Was ist die Steigung der Orthogonalen zu einer gegebenen Geraden???

f(x) = m x + t
m' = -1/m

für die Senkrechten geraden ist die Steigung der orthogonalen geraden 0

8. Wie leite ich die Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden zu einer gegebenen Geraden durch einen bestimmten Punkt her???

Punkt (x1,y1). Gerade g(x) = m x + t

f(x) = -1/m x+ y1 + 1/m x1

Vergleiche mit der FS. Ich garantiere keine Fehlerfreiheit.
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 12:47:19    Titel:

ok ich danke euch ihr habt mir wirklich eins tück weitergeholfen thx
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 13:38:31    Titel:

Würdest du die Geradengleichung verstehen, würden sich alle deine Fragen erübrigen. Es gibt so viele Möglichkeiten, wie man eine Geradengleichung aufstellen kann und du wirst noch so oft selbst Geraden aufstellen müssen, dass dein Auswendiglernen völlig umsonst ist.

Ich versuch dir mal die Geradengleichung zu erklären:

Jede Geradengleichung oder Kurvengleichung ist bloß dazu da, dass du dir beliebig viele Punkte und zwar die, die DU haben willst, berechnen kannst, die auf der Gerade oder der Kurve oben liegen.

Nun hat man sich überlegt, wie man, ohne dass man die Zeichnung sieht, eine Formel aufschreiben kann, sodass jeder die Gerade nachzeichnen kann.

Die Gerade besteht aus unendlich vielen Punkten und jeder Punkt besteht aus einer x-Koordinate und einer y-Koordinate.
Daher muss in dieser Formel ein x und ein dazugehöriges y vorkommen, weil ja jeder Punkt X (x/y) hat.

Nun hat man weiters gesagt: Wenn ich wüsste, wo die Gerade die y-Achse schneidet (das ist das t) und wenn man die Steigung (das ist das m) der Geraden kennen würde, dann könnte sie jeder zeichnen.

daher ist die Gleichung:
y = m*x + t

das x,y sind die Koordinaten EINES Punktes, der auf der Gerade oben liegt. Das m ist die Steigung und die trägt man folgendermaßen auf:

Man geht zu irgendeinem Punkt, der auf der Gerade oben liegt, von dort geht man 1 cm nach RECHTS! und was man von dort hinauf ( wenn m eine Pluszahl ist) oder hinunter geht (wenn m eine Minuszahl ist) - DAS ist dann die Steigung.

t ist der Abstand vom Ursprung bis dorthin, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Das heißt, wenn man t kennt und t = - 4 z.b., dann kennt man ja auch automatisch einen Punkt von der Geraden, nämlich P(0 /-4).
Und sobald du einen Punkt von der Geraden kennst, kannst du von dort aus die Steigung auftragen.

Nun zum Rechnerischen:

Beliebigen Punkt berechnen:

Du willst z.b. den Punkt der Geraden berechnen, dessen x-Koordinate 3 ist.
Daher setzt du für x in die Geradengleichung 3 ein und dann ist die Geradengleichung verpflichtet, dir das dazugehörige y zu sagen.

z.b. Geradengleichung: y = - 2x + 8

du willst z.b. den Punkt (3/ ?)

y = -2 * 3 + 8
y = 2

daher lautet der Punkt (3/ 2)

Du könntest auch einen Punkt berechnen, indem du sagst: ich will den PUnkt der Geraden, dessen y-Koordinate 100 ist. Und die Geradengleichung ist verpflichtet, dir das dazugehörige x zu sagen.

Wenn du die Gerade zeichnest, dann muss der Punkt (3/2) auf der Geraden liegen, sonst hast dich verrechnet oder falsch gezeichnet.

Das x und das y in der Geradengleichung muss immer frei bleiben, sonst könntest du dir ja nie einen beliebigen Punkt berechnen und DAS ist aber Sinn und Zweck einer Geradengleichung. Daher darfst du nur m und t einsetzen, wenn du eine Geradengleichung aufstellen sollst.

Nun zu deinen Fragen:

Du kennst 2 Punkte, die auf der Gerade oben liegen:
z.b. A = ( 5 / - 2) und B ( 1 / 6)
und du sollst die Geradengleichung aufstellen.
Zuerst fragt man sich, ob die Angabe überhaupt reicht, damit ich meine Gerade zeichnen kann. Und sobald man 2 Punkte kennt und die miteinander verbindet, kann man sie zeichnen. Daher muss man auch die Geradengleichung anhand der Angabe aufstellen können.

allgemeine Gleichung: y = m*x + t

Weil der Punkt A auf der Gerade liegt, kannst du für x und y einsetzen

1. -2 = m* 5 + t

Hier hast aber noch 2 Unbekannte drin, nämlich das m und das t. Daher musst du dir noch eine Gleichung aufstellen, denn 2 Unbekannte - 2 Gleichungen...3 Unbekannte - 3 Gleichungen usw...

weil B auch auf der Geraden liegt, kannst das auch für x und y einsetzen.

2. 6 = m*1 + t

Somit hast du nun 2 Gleichungen und mit Additionsverfahren kannst du dir nun das m und das t daraus berechnen und kannst die Geradengleichung aufstellen.

1. -2= 5m + t
2. 6= 1m + t / * (-1)
__________________________
-8 = 4m
m = - 2

Nun setzt du zurück ein und kriegst für t = 8 raus.

Daher lautet nun die Geradengleichung:

y = -2x + 8

Zur Überprüfung kannst du A und B einsetzen und dann muss die Gleichung stimmen, denn beide Punkte liegen ja auf der Gerade.
A (5 / - 2):
-2 = -2 * 5 + 8
-2 = -10 + 8
-2 = -2 >> wahre Aussage >> daher: A liegt auf der Gerade
Und wenn du B einsetzt, muss auch eine wahre Aussage rauskommen, denn B soll ja auch auf der Gerade liegen.

Das Prinzip ist folgendes:
Du schaust, was du alles von deiner Gerade gegeben hast und setzt dafür in die Geradengleichung ein, damit du das berechnen kannst, was dir noch fehlt. Und dann die allgemeine Gleichung für diese Gerade aufstellen.

z.b. Du hast 1 Punkt und die Steigung gegeben:
A= ( - 8/9) m = -1/2

9 = -1/2 * (-Cool + t
9 = + 4 + t
5 = t

Und t und m brauchst du, damit du die Gerade aufstellen kannst.
daher:

y = -1/2*x + 5

Und jetzt weißt du alles über die Gerade und kannst dir jeden beliebigen Punkt berechnen oder die Gerade zeichnen oder einen Schnittpunkt mit einer anderen Gerade berechnen oder die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse)..was du eben möchtest.

Schnittpunkt berechnen:
Dazu musst du ja 2 Geradengleichungen gegeben haben:
z.b.
1. y = 3x - 4
2. y = x - 8

Wie funktioniert das jetzt? Und zwar: Der Schnittpunkt ist der einzige Punkt, der auf beiden Geraden oben liegt. Daher such ich nun den Punkt (x/y), für den die x-Koordinate und die y-Koordinate für beide Geraden gleich sind.
x(1. Gerade) = x(2. Gerade)
oder:
y(1. Gerade) = y(2. Gerade)

Das heißt: Entweder du setzt beide Geraden gleich:
3x - 4 = x - 8
und berechnest das x, dann zurückeinsetzen und du kriegst dein dazugehöriges y.

oder:
du drückst dir aus einer Gleichung eine Unbekannte aus und setzt sie in die 2. Gleichung ein. (Explizitmachen)

oder:
Du wendest Additionsverfahren an und eliminierst eine Unbekannte, sodass du dir die andere berechnen kannst.

Nullstellen:
Das sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Die x-Achse ist ja auch eine Gerade - daher musst dir ja auch die Gleichung der x-Achse aufstellen können und du brauchst dazu m und t.
Wo schneidet nun die x-Achse die y-Achse und wie groß ist daher t?
>> t ist 0
Nun willst du die Steigung wissen. Dazu gehst zu irgendeinem Punkt der x-Achse, dann gehst du 1 cm nach RECHTS und wieviel musst du nun rauf oder runter gehen, damit du wieder auf deiner Geraden bist? Gar nix - daher ist m=0
Gleichung der x-Achse: y = 0*x + 0
>> y = 0 (diese Geradengleichung besagt: egal, was ich für x einsetze, das y muss immer 0 sein und somit hast jeden Punkt der x-Achse, denn für x kannst irgendeine Zahl nehmen, aber das dazugehörige y muss 0 sein)

Bei speziellen Geraden kann man sich die Gleichung viel schneller herholen, ohne dass man großartig herumrechnen muss.
Man sagt sich einfach ein paar Punkte der Gerade vor sich her und schaut, was einem dabei auffällt:

x-Achse: Punkte sind: P(2/0), Q(100/0), R(-1000/0), S(-4/0)
Was fällt da auf? - Dass das y immer 0 ist
daher ist die Gleichung: y = 0

y-Achse: Punkte sind: P(0/100), Q(0/2), R(0/-15)
Was fällt da auf? dass das x immer 0 ist.
daher ist die Gleichung: x = 0

Nun zu Funktionen:
Eine Funktion kann eine Gerade oder eine Kurve sein. Aber nicht jede Gerade und nicht jede Kurve ist eine Funktion.
Die Voraussetzung ist folgende:

Wenn du eine Kurve oder eine Gerade gezeichnet vor dir siehst, dann muss folgendes zutreffen, damit du eine Funktion hast:

Du musst zu jeder x-Stelle gehen können und von dort aus darf es nur einen einzigen y-Wert für deine Gerade oder Kurve geben.
JEDEM X-WERT darf nur EIN Y-WERT ZUGEORDNET WERDEN.

d.h. wenn du für x eine Zahl in deine Gleichung einsetzt und es kommen 2 oder mehrere dazugehörige y-Werte heraus - dann ist das keine Funktion!
z.b. y^2 = 4x
nun setz ich für x = 1 ein
y^2 = 4
y1 = + 2
y2 = - 2

DAS wär keine Funktion und wenn man diese Kurve zeichnet, so sieht man, dass das eine Parabel ist ( liegendes U)
und wenn du nun zur Stelle x = 3 gehst, dann müsstest du 2 Striche (2 y-Werte) machen, damit du wieder auf der Kurve bist. Und man darf aber nur einen Strich machen, damit man sagen kann, dass es eine Funktion ist.
Die y-Achse z.b. ist auch keine Funktion, weil wenn du zur Stelle x = 0 gehst, dann gibts unendlich viele y-Werte dazu, denn wenn x = 0 ist, so sind die dazugehörigen y-Werte: 1; 2; -100; - 2,9...usw...unendlich viele y-Werte gibts nun für x = 0.
Eine zusätzliche Überprüfung wäre auch: wenn du t ablesen willst, dann kannst das nicht, weil es keinen eindeutigen Wert für t gibt und auch wenn du k ablesen willst von der y-Achse, dann ist k unendlich.

Wenn du eine Gleichung vor dir stehen hast und du willst wissen, ob diese Gleichung eine Funktion ist, dann muss folgendes sein:

Auf der linken Seite muss stehen: 1 y ( nicht y^2, nicht 3y, nicht y/2)
Auf der rechten Seite darf nur mehr eine einzige andere Unbekannte stehen und Zahlen

z.b. 1y = 3x + 7 >> Funktion, weil auf der linken Seite 1y steht und auf der rechten Seite steht eine einzige andere Unbekannte und nicht 2 oder 3

A = a * b >> keine Funktion, weil...es steht zwar auf der linken Seite 1A..aber auf der rechten Seite stehen 2 Unbekannte.

Man kann aber auch aus Nicht-Funktionen Funktionen machen:

2x + 3y = 7
indem man umformt, sodass y alleine auf der linken Seite steht:
1y = -2x/3 + 7/3

und jetzt hat man die Gleichung zur Funktion gemacht.
Sobald du eine Gleichung zur Funktion gemacht hast, darfst du für y - f(x) hinschreiben, also:
f(x) = -2x/3 + 7/3

Daher ist f(x) bloß eine andere Schreibweise für y ( und y ist die y-Koordinate eines beliebigen Punktes auf deiner Gerade oder Kurve).

die x-Koordinate eines Punktes nennt man: die Stelle x
die y-Koordinate eines Punktes (= f(x)) nennt man: Funktionswert an der Stelle x
daher kann man einen Punkt auch so aufschreiben: P(x / f(x) )

Wenn dir also gesagt wird, du sollst f(3) berechnen, dann bedeutet das, dass du den Punkt deiner Gerade oder Kurve berechnen sollst, dessen x-Koordinate 3 ist. Also für x 3 einsetzen und dann kriegst den dazugehörigen y-Wert.

Vielleicht machst dir ja die Mühe das durchzulesen und zu verstehen.
Alle Formeln sind unnötig, wenn du das verstanden hast, was ich dir da geschrieben hab.
Falls dir meine Erklärung hilft, dann sags, dann erklär ich dir das mit der orthogonalen Gerade....also die Gerade, die auf eine andere Gerade im rechten Winkel steht.

lg
katja
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 16:34:01    Titel:

@katja danke für deine sehr ausfürhliche erklärung...das hat mcih auf jedenfall weitergebracht jetzt versteh cih wenigstens die grundlegenden dinge....also dank dir...deine erklärung is sogar für mcih super zu verstehn Wink

mfg Daniel
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 16:35:49    Titel:

@katja danke für deine sehr ausfürhliche erklärung...das hat mcih auf jedenfall weitergebracht jetzt versteh cih wenigstens die grundlegenden dinge....also dank dir...deine erklärung is sogar für mcih super zu verstehn Wink

mfg Daniel
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Mai 2005 - 16:17:50    Titel:

schreibe auch bald ne arbeit und bin hier drüber gestoßen.
DANKE hat mir viel geholfen
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