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komplexe zahlen
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patr23
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Anmeldungsdatum: 09.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 18:22:18    Titel: komplexe zahlen

kann mir jemand weiterhelfen bei folgender aufgabe?

: z = 5e^(3i)/(3+4i

bestimmen sie real und imaginärteil und den betrag von z und z^2
Wirtschaftsinformatiker
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Anmeldungsdatum: 30.06.2006
Beiträge: 7083

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 18:30:22    Titel:

ein Tipp könnte sein : e^( i * x) = sin (x) + cos(x) * i
so könnte man e^( 3 i ) umformen zu sin(3) + cos( 3) * i )
dann wäre cos(3) * i der Imaginärteil von e^( 3 i )
Aber alles ohne Gewähr, das kam bei uns letztes Semester dran und ich habe sicher über 1 / 2 Jahr nichts mehr mit komplexen Zahlen gemacht.


Zuletzt bearbeitet von Wirtschaftsinformatiker am 16 Aug 2006 - 18:36:42, insgesamt einmal bearbeitet
patr23
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Anmeldungsdatum: 09.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 18:34:21    Titel:

danke für den hinweis.
soweit war ich auch schon gewesen, aber da kommt nur quatsch raus zahlenmäßig.
normal ist bei unserem prof immer als pi-periodisch oder ein bruch von pi, deshalb denke ich, dass ich die sache falsch angegangen bin.
LucyDiamond
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Anmeldungsdatum: 10.01.2006
Beiträge: 2022

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 18:46:54    Titel: Re: komplexe zahlen

patr23 hat folgendes geschrieben:


z = 5e^(3i)/(3+4i



Man würde dabei mit (3-4i) erweitern, dann verschwindet die imaginäre Einheit aus dem Nenner.
patr23
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Anmeldungsdatum: 09.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 18:50:05    Titel:

das habe ich schon gemacht aber dann hänge ich bei:

(15*cos(3)+15i*sin(3)-20i*cos(3)+20sin(3))/25

auch um pi/2 verschoben, um auf cos()+i*sin() zu kommen, bringt aber nichts.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 19:35:29    Titel:

z = 5e^(3i)/(3+4i)

= (1/5)*(cos3 + i sin3)*(3-4i)

= (1/5)*[ ( 3cos3 + 4sin3) + i*( 3sin3 – 4cos3) ]

Falls der Winkel wie üblich im Bogenmass zu verstehen ist, ergibt sich
(wenn ich mich nicht ver(tippt)rechnet habe..) also ungefähr

z = - 0,481 + 0,877*i

Nebenbei: Viel schöner wärs, wenn in der Aufgabenstellung
e^(i*pi) statt e^(i*3) dastünde...? Smile
patr23
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Anmeldungsdatum: 09.06.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 19:51:52    Titel:

das gleiche habe ich auch raus. da bisher immer alles pi-periodisch war in den übungsaufgaben war ich mir unsicher ob es wirklich stimmt.


auf jeden fall dankeschön Confused
as_string
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
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BeitragVerfasst am: 16 Aug 2006 - 23:55:09    Titel:

Hallo!

Ich würde eher den umgekehrten Weg gehen. Teilen ist meistens mit der e-Schreibweise einfacher:

z = 5e^(i*3)/(3+4i) = (5e^(i*3))/(5*e^(i*atan(4/3))) = e^(i*(3-atan(4/3))) = e^(i*2,073)
Wenn man das unbedingt in der anderen Darstellung haben will, muß man nur noch Sinus und Kosinus ausrechnen:
z = cos(2,073) + i*sin(2,073) = -0,481 + 0,877 i
also allgemein:
z1/z2 = [r1*e^(i*phi1)] / [r2*e^(i*phi2)] = r1/r2 * e^[i*(phi1 - phi2)]

Gruß
Marco
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 11:33:14    Titel:

"Teilen ist meistens (mit der e-Schreibweise) einfacher" –
. Smile ..ist wohl "Geschmackssache"? Smile

Normalerweise sind Multiplikationen (hier mit dem konjugiert komplexen des Nenners) zumindest problemloser...

Also: Du hast .... : e^(i*(3-atan(4/3)))
Nun kann .. atan(4/3) entweder ca. 0,927.. oder 4,068.. sein?
Im ersten Fall erhältst du z1= e^(2,07..)
Im zweiten Fall dann z2= e^(-1,068..)
z1 und z2 unterscheiden sich schlussendlich immerhin im Vorzeichen..
Also musst du bei sorgfältigem Vorgehen noch eine kleine (einfache, aber zusätzliche) Betrachtung durchführen...
as_string
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2774
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 15:14:30    Titel:

@mathefan: Ja, das ist sicherlich Geschmackssache, da hast Du Recht. In diesem Bsp. hätte ich es zumindest eher so gemacht. Hängt sicher auch davon ab, was man als Ergebnis gerne haben möchte. Mir ging es mehr darum, auch noch eine andere (wie ich zumindest in diesem Bsp. finde, einfachere) Möglichkeit aufzuzeigen.
Wenn Zähler und Nenner in der "a+ib" Schreibweise gegeben sind, halte ich es normalerweise auch für nicht sinnvoll beides in die "e^" Schreibweise umzuwandeln, aber wenn eines schon in "e^" da steht, finde ich das normalerweise einfach so zu rechnen.

Gruß
Marco
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