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Ist die Lösung richtig? Differentialrechung!
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ist die Lösung richtig? Differentialrechung!
 
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Cawres
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 19:54:26    Titel: Ist die Lösung richtig? Differentialrechung!

Ich hätte gerne eure Bestätigung. Ich habe die folgene Aufgabe gelöst, jedoch bin ich mir nicht so sicher ob es richtig ist!
Wenn es nicht richtig ist, dann gebt mir bitte eure Tipps!

--------------------------------------
Von einer Produktionsfunktion f sei bekannt, dass eine Einsatzmenge von 10 (Mengeneinheit) zu einer Ausbringungnsmenge von 20 (Mengeneinheit) führt. Für einen Einsatz von 20 ( Mengeneinheiten) wird die Ausbringungsmenge maximal, und zwar 40 (Mengeneinheit).
Wähle als Ansatz für f eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die durch den Ursprung verläuft, und bestimme f (x).

meine Lösung:
Funktion 3. Grades: f(x)= ax³+bx²+cx+d
die 1. Ableitung : f'(x)= 3ax²+2bx+c
f(0)=20
f(20)=40
f(0)= 0
f'(20)=0

ich habe dann anhand eines Gleichungsystems die "Lösung" gefunden:
f(x)= -0,01x³+0,3x²

Bitte sagt mir ob es stimmt!
Ich danke schon mal Wink
Wirtschaftsinformatiker
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Anmeldungsdatum: 30.06.2006
Beiträge: 7083

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:01:11    Titel:

Zitat:

Einsatzmenge von 10 (Mengeneinheit) zu einer Ausbringungnsmenge von 20 (Mengeneinheit) führt


du meinst statt f(0) = 20, sicher f(10) = 20,
vorallem gilt ja schon f(0) = 0, und ein x Wert kann nie 2 y Werte haben.
Sonst sieht der Ansatz richtig aus.
Cawres
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:02:52    Titel:

ja du hast recht, ich habe die 1 vergessen.
danke für deine Bestätigung Smile
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:05:56    Titel:

Naja, du müsstest schon noch eine kleine probe machen: Nämlich ob die Funktion an der Stelle 20 wirklich ein globales Maximum hat (du hast noch nicht mal nachgewiesen, dass es sich um ein lokales Maximum handelt; könnte auch Minimum oder Wendestelle sein...)

Viele Grüße, cyrix
Cawres
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:12:02    Titel:

ja danke für dein Tipp, ich habe es sofort versuch und in der Tat die
Lösung ist f(20)= 40

Smile

Dann wird meine Lösung richtig sein ! ich danke euch Smile
Smile
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:16:42    Titel:

@ Cawres: Funktionswert insetzen reicht nicht!

Du musst zeigen, dass es sich um ein globales Maximum handelt. Das kriegst du nicht dadurch, dass du den Funktionswert berechnest.

(Wenn ich dir sagen, dass eine von mir gewählte Fkt. an der Stelle 5 den Wert 3 hat, und deren Ableitung dort 0 ist, weißt du noch lange nicht, ob das a) eine lokale Extremstelle und b) vielleicht, wenn doch, ein globales Maximum ist).


Viele Grüße, Cyrix
Wirtschaftsinformatiker
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Anmeldungsdatum: 30.06.2006
Beiträge: 7083

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:20:05    Titel:

@ cawres : cyrix42 meint, du sollst prüfen ob f''(20) ungleich 0 ist.
also f''(x) = 6 *a * x + 2 * b ungleich 0
also 6 * a * 20 * + 2 * b ungleich 0.

a und b musst du halt noch bestimmen.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:32:22    Titel:

@ Wirtschaftsinformatiker: Nicht nur.

Damit hättest du dann gezeigt, dass ein lokales Maximum vorliegt. Dass dies aber zusätzlich global ist, erfordert eine Diskussion der Monotonieverhältnisse auf ganz IR^+ (also der positiven Halbgerade) ...


Viele Grüße, Cyrix
Wirtschaftsinformatiker
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Anmeldungsdatum: 30.06.2006
Beiträge: 7083

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:37:21    Titel:

@cyrix42 : richtig, allerdings mußt du bedenken, das f(x) eine
Produktionsfunktion ist, d.h. sie ist nicht auf ganz R definiert, sondern nur
von 0 bis Maximale Produktionsmenge.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 17 Aug 2006 - 20:38:30    Titel:

@Wirtschaftsinformatiker: Ich kann also nicht mehr hineinstecken (auch wenn ich dadurch weniger wieder herausbekomme)?

Viele Grüße, Cyrix
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