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Supremum
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Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 20:16:13    Titel: Supremum

Wieder eine Aufgabenart bei der ich nicht weiterkomme.
Würde mich freuen wenn mir jemand das an einem Beispiel zeigen kann, weil ich davon mehrere Aufgaben habe..

Seien A,B (nicht leere) beschränkte Teilmengen von R,
und S = {a + b| a E A, b E B}. Zeige:

a) sup S = supA + supB
b) inf S = inf A + inf B

Danke!
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 19:19:20    Titel:

Durch eine ähnliche Aufgabe vorhin habe ich mit dem sup und inf bisschen mehr verstanden.

Kann mir jemand kurz sagen was der unterschied zwischen inf und sup ist?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 19:59:41    Titel:

sup und inf sind sowas ähliches wie eine verallgemienerung von nem maximum oder nem minimum.

nehmen wir als beispiel sup (bei inf ist eben als umgekehrt)
sup einer menge A ist die kleinste obere schranke von A.
beispiel
sup [a,b] = sup [a,b[ = b
sup {x in R | x² < 2} = wurzel (2)

der unterschied zu max und min liegt nun darin dass ein max und min auch selbst elemente der menge sein müssen, sup und inf aber nicht..

so hat [a,b[ zwar kein max, aber das sup existiert dennoch.

es lässt sich nun zeigen dass in R jede nach oben beschränkte teilmenge ein sup hat, und jede nach unten beschränkte ein inf.

daraus folgt:
hat eine menge A hat ein max dann und nur dann wenn sup A in A, und dann gilt max A = sup A

natürlich gilt dies umgekehrt auch für inf unf min...

des weiteren folgt daraus, dass wenn du ein M hast, sodass für jedes x in A, x <= M, dann muss auch sup A <= M sein.

so, und jetzt zu deinem beweis...
da A und B beschränkt sind, ist auch S beschränkt, und somit existieren alle suprema.
für jedes x in A und y in B gilt dann, x+y in S, und somit x+y <= sup S
=> x <= sup S -y
=> sup A <= sup S -y
=> y <= sup S -sup A
=> sup B <= sup S - sup A
=> sup A + sup B <= sup S

aber wenn x in A, dann muss x <= sup A, und wenn y in B, dann muss y <= sup B.
daraus folgt x+y <= sup A +sup B
aber da x+y ein beliebiges element aus S ist, und somit x+y <= sup S, muss auch
sup S <= sup A + sup B

also hast du
sup A +sup B <= sup S <= sup A+ sup B
und somit sup S = sup A + sub B

für infimum geht es genau so, eben nur alles "in die andere rcihtung"
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 18:06:16    Titel:

Mir ist nicht der letzte Schritt ganz klar.

Also warum
sup A +sup B <= sup S <= sup A+ sup B ?

Bei der b) mit dem Infinimum habe ich folgendes.


für alle x E A und y E B gilt, x+y E S, --> x+y >= inf S
=> x >= inf S -y
=> inf A >= inf S -y
=> y >= inf S -inf A
=> inf B >= inf S - inf A
=> inf A + inf B >= inf S

Wenn x E A, dann muss x >= inf A, und wenn y E B, dann muss y >= inf B.
--> x+y >= inf A + inf B
Da x+y ein beliebiges element aus S ist, und somit x+y >= inf S, muss auch
inf S >= inf A + inf B


Geht das so?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 18:42:36    Titel:

dein beweis hat folgende struktur:
du willst ja beweisen dass s =a+b
das ist das gleiche wie beweisen dass s>=a+b und s <= a+b... und das ist das gleiche wie a+b <= s <= a+b

das machst du ja auch in dem beweis:
in nem ersten schritt beweist du sup S >= sup A + sup B
in nem 2ten schritt beweist du sup S <= sup A +sup B
also zusammen gefasst : sup A +sup B <= sup S <= sup A +sup B
und daraus folgt dann sup S = sup A +sup B

dein beweis ist fürs inr ist shcon ganz richtig Very Happy
nur musst du auch da wieder die schlussfolgerung ziehen:
du hast hast bewiesen dass inf A + inf B >= inf S und auch dass inf A + inf B <= inf S, und somit inf A + inf B = inf S
(acu hier kannst du wieder schreiben inf A + inf B <= inf S <= inf A + inf B )
Nico82
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Newbie


Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 19:24:26    Titel:

@Franziska22: du studierst nicht zufällig in Mannheim?

Gruß,
Nico
algebrafreak
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:08:42    Titel:

Hat jemand schon mal eine wirklich formale Definition von sup gesehen? Hier ist eine:

Sei (A,<=) eine angeordnete Menge. Dann kürze ab Mi(A) die Menge aller Unterschranken und mit Ma(A) die Menge aller Oberschranken von A. Was ist dann ein sup?

sup(A) = Mi Ma (A) geschnitten mit Ma(A)

Ich habe bei erstem mal nur geschaut Smile
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:23:13    Titel:

ja, diese definition haben wir in unserem analysiskurs "vor langer zeit" für sup und inf gegeben... sie ist ganz natürlich, sie bedeutet ja ncihts weiter als dass sup A die kleinste obere schranke von A ist.

nur ist dies eigentlich nicht einfach eine definition... dies setzt nämlich voraus dass Mi Ma (A) n Ma (a) nicht leer ist, was aber gerade wieder bedeutet dass dass Ma(A) ein minimum haben muss.... und das ist, soweit ich mich errinnere, nciht so trivial zu beweisen...
denn für R ist es ja immer war, aber für Q ist es ja zum beispiel nciht immer wahr!

diese definition macht also meiner meinung nach nur nen sinn wenn man vorher den entsprechenden satz bewiesen hat...
oder bleibt diese deffinition auch wahr wenn der durchschnitt leer ist?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:29:25    Titel:

Die Defintiion lautet natürlich im vollen Ausmaß:

Sei (M,<=) eine geordnete Menge. Dann heisst ein a \in A \subset M ein sup(A), wenn a in MiMa(A) \cap Ma(A).

Man kann relativ einfach zeigen, dass MiMa(A) \cap Ma(A) höchstens einelementig ist. Somit ist die Sache wohldefiniert. Es geht mir da aber vor allem um die lustige Darstellung.
guest
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 23:07:19    Titel:

nico82, auf die frage erwartst du nicht wirklich eine antwort von ihr, oder?
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