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Beschränktheit, Stetigkeit f(x)= { (-x-3); 4/(x+2)}
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stepi1974
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Anmeldungsdatum: 03.08.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 14:43:02    Titel: Beschränktheit, Stetigkeit f(x)= { (-x-3); 4/(x+2)}

Wegen der Beschränktheit steht in einem Buch:

für jedes S>0 gilt f(-S-4)=S+1>S, d.h. S ist keine obere Schranke von f.
Kann mir mal jemand erklären, wie man auf: f(-S-4)=S+1>S kommt?


Wegen der Stetigkeit in0:
f ist unstetig in 0, denn (-1/n) ist eine Testfolge in R für 0 und
es gilt:

f(-1/n)=1/n-3 ---> -3 verschieden 2 =f(0) für n gegen Unendlich

Das f in 0 unstetig ist mir klar, aber muß ich für solche untersuchungen immer genau die Testfolge -1/n nehmen???

Danke für die Antworten
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 14:48:28    Titel:

Hallo Stepi!

Erst einmal solltest du deine Funktion ordentlich aufschreiben! Nu durch Raten habe ich herausgefunden, dass du eine abschnittsweise definierte Funktion f betrachtest. Nämlich ist

f(x)= -x-3; für x<0 und
f(x)= 4/(x+2); für x>=0.

Das hat übrigens nichts mit dem zu tun, was du da im Titel stehen hast (dort sthet, dass der Funktionswert eine Menge von zwei Elementen (-x-3) und 4/(x+2) ist.

Viele Grüße, Cyrix

Zu deinen Fragen komme ich gleich...
stepi1974
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Anmeldungsdatum: 03.08.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 14:54:54    Titel: Funktion lösen

Sorry, hast hast, habe ich auf die schnelle vergessen!!!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 14:55:03    Titel:

So, nochmal ich.

Also. Offensichtlich sollst du untersuchen, ob diese Funktion beschränkt ist. Was heißt beschränkt sein für eine Funktion?

Richtig: Es muss eine obere Schranke S geben, dass alle Funktionswerte kleiner als diese sind, und eine untere s, dass alle Funktionswerte größer als diese sind.

Wenn nur eines der beiden nicht erfüllt ist, ist die Funktion unbeschränkt. Um zu zeigen, dass sie unbeschränkt ist, zeigen wir hier nur, dass sie nach oben unbeschränkt ist; und dies in einem indirekten Beweis (wir nehmen also das Gegenteil an, und führen dies zum Widerspruch).

Annahme ist also: Die Funktion f ist nach oben beschränkt. Dann existiert also eine reelle Zahl S, sodass alle Funktionswerte kleiner als S sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir S>0 annehmen (wenn es für eine Zahl kleiner als Null schon gilt, dann offensichtlich auch für jede größer als Null).

Nun berechnen wir f(-S), und erhalten f(-S)=S+1 (da S>0 und damit -S<0 ist). Dies ist aber ein Widerspruch, da ja S obere Schranke sein sollte, d.h. alle Funktionswerte kleienr als S sein müssten (und S+1 ist offensichtlich größer als S). Widerspruch!

Also ist die Funktion nicht nach oben beschränkt, und damit unbeschränkt.


edit:
Und zur Stetigkeit:
Wie habt ihr die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle x_s definiert? Wahrscheinlich über das Folgenkriterium (wenn für alle Folgen (a_n), die gegen diese Stelle x_s konvergieren die Folgen (f(a_n)) gegen den Funktionswert f(x_s) konvergieren).

Nun, wann ist also eine Folge an der Stelle x_s nicht stetig? Wenn es wenigstens eine Folge (a_n) gibt, die gegen x_s konvergiert, sodass die Folge (f(a_n)) nicht gegen f(x_s) konvergiert.

D.h. sobald du eine solche Folge gefunden hast, bist du damit fertig. Hier wurde z.B. die Folge (-1/n) gewählt, die ja gegen die zu untersuchende Stelle x_s=0 konvergiert...

Du könntest aber auch andere Folgen wählen; z.B. (-1/n^2) oder (-2/n)...


Viele Grüße, Cyrix


Zuletzt bearbeitet von cyrix42 am 18 Aug 2006 - 15:01:59, insgesamt einmal bearbeitet
stepi1974
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Anmeldungsdatum: 03.08.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 14:55:54    Titel:

hast recht, wollte ich schreiben

Bin irgendwie durch den Wind, lerne gerade für eine Klausur morgen,

nochmal sorry
stepi1974
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Anmeldungsdatum: 03.08.2006
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 15:24:29    Titel:

"Nun berechnen wir f(-S), und erhalten f(-S)=S+1 (da S>0 und damit -S<0 ist). Dies ist aber ein Widerspruch, da ja S obere Schranke sein sollte,"

Von der Verstädnigung ist mir vieles einleuchtend.

Wenn ich aber f(-S) rechne,
muß ich da nicht für f(x)=-x-3 x=-S setzen, dann komme ich auf f(-S)=S-3???

Irgendwie habe ich da eine Denkblockade.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 18 Aug 2006 - 15:46:58    Titel:

Hallo Stepi!

Ja, du hast recht; und ich nicht aufgepasst):

Du musst f(-S-4) berechnen, so wie auch im Ausgangspost beschrieben. Smile

Viele Grüße, Cyrix
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