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Äquivalenzrelation
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fibo
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 22:39:24    Titel: Äquivalenzrelation

Zeige:
Zu jeder Zerlegung (AindexLambda)lambda Element I
fibo
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Nov 2004 - 22:43:02    Titel:

Nochmal:
Zeige:
Zu jeder Zerlegung (A indexLambda)lambda Element I einer Menge A existiert genau eine Äquivalenzrelation ~ auf A, die diese Zerlegung als Restklassenmenge besitzt.
fibo
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 16:33:51    Titel:

weiß niemand rat????
ich bin im arsch!!!!
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 18:31:49    Titel:

Also angenommen Du hast eine Zerlegung A_lambda = {Z1, Z2, ...Z_lambda} der Menge A. Jetzt musst Du zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation gibt, die A genau in diese Zerlegung einteilt.

Definiere diese Äquivalenzrelation ~ doch einfach so:

a~b <=> es gibt ein i, mit a element Z_i und b element Z_i
Also einfach, zwei Elemente stehen in Relation, wenn sie in einer dieser Z-Mengen gemeinsam vorkommen.

Jetzt noch prüfen, ob ~ auch wirklich eine Äquivalenzrelation ist:

Reflexiv ?
A_lambda ist eine Zerlegung, daher liegt jedes x aus A in genau einer Z-Menge. Für jedes x element A gibt es also ein i mit x element Z_i und x element Z_i: x~x

Symmetrisch ?
x~y <=> es gibt ein Z_i mit x element Z_i und y element Z_i, <=> es gibt ein Z_i mit y element Z_i und x element Z_i <=> y~x

Transitiv ?
x~y und y~z <=> es gibt ein Z_i mit x element Z_i und y element Z_i UND es gibt ein Z_k mit y element Z_k und z element Z_k.
y wäre also in Z_i und Z_k enthalten, bzw. y element Z_i schnitt Z_k. Da das A_lambda aber eine Zerlegung ist gilt Z_i = Z_k, weil die Mengen einer Zerlegung disjunkt sind. Das heisst aber dass y und damit auch z element Z_i sind, also x~z

Und diese Äquivalenzrelation ist auch die einzige die zu der gegebenen Zerlegung führt, denn gäbe es eine andere *~*, müsste sich diese irgendwie unterscheiden von ~. Also gäbe es irgendwelche x,y für die gilt x~y und nicht x*~*y. Damit würde diese neue Relation aber x und y in unterschiedliche Z_i legen, also nicht zu der gegebenen Zerlegung führen.
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