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Homogen geladene Kugel
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TonyMakaroni
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2006 - 01:44:47    Titel: Homogen geladene Kugel

Hallo,
stehe vor folgendem Problem in Exphysik:
Ich soll das elektrostatische Potential für eine homogen geladene Kugel (q, R) berechnen. Dazu soll ich den r in z-Richtung legen und in Kugelkoordination integrieren nach folgender Formel:

\phi (r) = \int d^3r' (\rho(r)) / (r-r')

Eigentlich alles kein Problem bis hierhin.
Für r gilt: r=r*e_z

Jetzt ingegriere ich über Kugelkoordinaten (Funktionaldeterminante und Grenzen schon berücksichtigt):

\phi (r) = 2\pi\rho \int^r_0 dr' r^2 \int^1_1 dcos(\theta) 1 / (\sqrt(r^2+r'^2cos(\theta))

Folgende Fragen:
wie setze ich bei der Substitution an, so dass ich dcos(\theta) anstelle von d\theta erhalte?
Wie komme ich auf den letzten Nenner, ich habe dort nur r^2 und r'^2 stehen, woher kommt das 2rr'cos(\theta) (sieht nach binomischer Formel aus!?)?

Abseits davon: Kann man hier auch seinea Formeln besser darstellen, geht das im BBCode?

Gruss TonyMakaroni
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2006 - 02:21:56    Titel: Re: Homogen geladene Kugel

TonyMakaroni hat folgendes geschrieben:

Abseits davon: Kann man hier auch seinea Formeln besser darstellen, geht das im BBCode?


Schön wärs... Sad
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2792
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2006 - 03:50:25    Titel: Re: Homogen geladene Kugel

TonyMakaroni hat folgendes geschrieben:
woher kommt das 2rr'cos(\theta) (sieht nach binomischer Formel aus!?)?

Sieht mir eher nach Kosinussatz aus.

Gruß
Marco
TonyMakaroni
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2006 - 09:39:44    Titel:

Hallo,
ich sitze irgendwie immer noch an dieser Aufgabe, bin scheinbar zu blöd Confused

Warum wir |r - r'| zu sqrt(r^2+r^'^2-2 * r * r' * cos(theta)), wenn anbei bemerkt wird, dass die Richtung von r die z-Achse definiere?

Bemerkung: ein fettgedrucktes r steht bei mir immer für einen Vektor.

Meine persönliche Vorgehensweise:

    - da wir es mit einer homogen geladenen Kugel zu tun haben, ist es wohl sinnvoll in Kugelkoordinaten zu rechnen
    - für den Vektor r gilt dann: r=r * e_z


Dann habe ich rumexperimentiert und mir folgende Fragen und Überlegungen gestellt:

    - wie muss der Vektor r' aussehen?
    - als letzten schritt probiere ich ja den Betrag/Länge vom Vektor (r-r') zu berechnen
    - meiner Meinung nach sieht der Vektor folgendermaßen aus: (0,0,r_z - r'_z)
    - also quadriere ich nur die z-Komponente, da steht ja meiner Meinung dann eine binomische Formel, sqrt((r_z - r'_z)^2)
    - ich habe es mal probiert, rückwärts hochzurechnen, jedoch weiß ich nie, wie man auf die Komponente "2 * r * r' * cos(theta)" kommen soll


Irgendwas mache ich falsch, muss ich vielleicht noch irgendwo geschickt transformieren?

Ne Antwort oder auch vielleicht ein Tip wäre echt prima.

Gruss TonyMakaroni
TonyMakaroni
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2006 - 10:48:42    Titel:

Servus allerseits,
habe soeben - quasi stolz wie nen Oscar - mein Problem gelöst, es wird wahrscheinlich niemanden interessieren, ich habe einfach ein wenig zu kompliziert gedacht ...
Für den interessierten Leser gibts trotzdem folgende Lösung:

Der Vektor r' wird ganz allgemein in Kugelkoordinaten geschrieben.
Somit sieht der Vektor r-r' folgendermaßen aus:
r-r'=[0, 0, r] - [r' * sin(theta) * cos(phi), r' * sin(theta) * sin(phi), r' cos(theta)]= [r' * sin(theta) * cos(phi), r' * sin(theta) * sin(phi), r-r' cos(theta)]

Berechnet man jetzt den Betrag davon so steht dort:
|r-r'|=sqrt((r' * sin(theta) * cos(phi))^2 +(r' * sin(theta) * sin(phi))^2 + (r-r' *cos(theta))^2)=sqrt((r' * sin(theta)^2 + (r-r' * cos(theta))^2)

Durch Ausklammern und durch (sin(phi))^2+(cos(phi))^2=1 sind einige Glieder herausgefallen, daher sieht der Ausdruck einfacher aus.
Zu guter Letzt habe ich es dann ausmultipliziert und erneut fielen durch (sin(theta))^2+(cos(theta))^2=1 einige Glieder weg, so dass ich zum Schluss nur noch sqrt(r^2+r^'^2-2 * r * r' * cos(theta)) stehen hatte.

Okidox, bis die Tage dann, bis zum meinem neuen Problem, es kommt bestimmt....
Gruss TonyMakaroni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2792
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 24 Aug 2006 - 14:24:58    Titel:

Das ist einfach der Kosinussatz. Du hast ein Dreieck mit zwei Seiten gegeben (r und r'). Außerdem ist der Winkel zwischen den beiden Seiten gegeben. Du willst aber den Abstand zwischen den "Vektorspitzen" von r und r', also die dritte Seite ausrechnen. Das macht man ganz einfach mit dem Kosinussatz.
So weit ich das sehe, hast Du also quasi nur den Kosinussatz mehr oder weniger "bewiesen".

Gruß
Marco
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