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Drehung Tetraeder und Permutation
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Drehung Tetraeder und Permutation
 
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Lucia84
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 15:49:45    Titel: Drehung Tetraeder und Permutation

Hallo!

Ich muss bis Do die Aufgabe lösen und ich sitze schon seit paar Tagen manchmal daran und habe so keine richtige Lösung.

Ich habe das gescannt und hier könnt euch die Aufgabe hier angucken.


Welche 12 Elemente werden gemeint?? a,b,c,d,f sind ja 5. Zählen die dazu?

Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 16:37:47    Titel:

Die 12 Elemente die gemeint sind, "werden durch Drehungen von T realisiert", wie in der Aufgabe steht. Also versuch mal den Tetraeder so zu drehen, dass er danach so dasteht wie zuvor, nur halt seine Ecken vertauscht wurden.

Also z.B. Finger auf die 4 drücken und die Ecken 1, 2 und 3 vertauschen:

1234 -> 2314
und andersrum
1234 -> 3124

Das kannst Du bei jeder Ecke in zwei Richtungen anstellen, und bekommst 4 * 2 = 8 Elemente von A4.

Und jetzt ? Wie stellt man die restlichen 4 Drehungen an, die beim Tetraeder Ecken vertauschen ? Wink


Lösung: nelanogaidnettimnetnaK eid mu eherD
Lucia84
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 18:48:04    Titel:

Das mit
1234 -> 2314
und andersrum
1234 -> 3124

kann ich nachvollziehen.

Wenn ich das jetzt mit der Ecke 2 versuche, dann habe ich
2314 -> 3124
und andersrum
2314 -> 1234

und hier merke ich, das wiederholt sich ja logischerweise. Was mache ich falsch??
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 19:55:03    Titel:

Ok, sorry, da hab ich meine Notation nicht erklärt. Ich schau mir also den Tetraeder im Bild an ("Isch gucke") und schreibe auf, welche neue Ecke an der alten Position landet. Halten wir also den Tetraeder bei 4 fest, und drehen (von oben drauf schauend) nach links:

Dann wandert 1 dahin wo jetzt noch die 2 ist (An Position 2 landet die 1). Die 2 dreht sich nach hinten, wo noch die 3 ist (Zu Position 3 kommt die 2). Und an die Stelle wo die Ecke 1 sich befand, schiebt sich die Ecke 3 hin.

Und dafür schreibe ich:

1 2 3 4 alte Ecken
3 1 2 4 neue Ecken

Man könnte auch mathematisch sagen:
Durch die Abbildung "Drehung D" wird 1 auf 3 abgebildet, 2 auf 1 abgebildet und 3 auf 2 abgebildet. D(1) = 3, D(2) = 1, D(3) = 2, und D(4) = 4

Wenn Du also Ecke 2 festschraubst kannst Du nur 1, 3 und 4 in neue Position bringen, und zwar jeweils in eine Position 1, 3 oder 4:
1 2 3 4 -> 3 2 4 1
das wäre, wenn ich 2 festhalte und den Tetraeder auf die 2 draufschauend, nach rechts drehe.
Lucia84
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 20:13:57    Titel:

Also bei 2:
1 2 3 4 -> 3 2 4 1
andersrum
1 2 3 4 -> 4 2 1 3

Bei 3:
1 2 3 4 -> 4 1 3 2 (rechts von 3 gesehen)
andersrum
1 2 3 4 -> 2 4 3 1

Bei 1:
1 2 3 4 -> 1 4 2 3
andersrum
1 2 3 4 -> 1 3 4 2

Ich hoffe mal das ist richtig so.

Das wären ja jetzt 8 Elemente wie du sagtest. Die restlichen 4 haben sicher was mit der 0 zu tun oder? Ich meine so eine Art Drehachse, also eine Strecke zwischen 0 und 4. Aber wie würden die Drehungen da aussehen? Wovon gehe ich hier aus? Vorhin waren es ja 1 2 3 4.
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 21:23:52    Titel:

Zitat:
Wovon gehe ich hier aus? Vorhin waren es ja 1 2 3 4.


Du gehst immer von 1 2 3 4 aus. 1 2 3 4 ist der Tetraeder, so wie wir ihn oben in dem Bild sehen. Die Frage ist, gibt es noch weitere Drehachsen, so dass er wieder in dieser Stellung/Position endet, aber die Ecken halt vertauscht sind ?

Tip: hat was mit den PUNKTEN a, b, c, d, e, f zu tun. Das gibt dann 3 zusätzliche Drehungen. (Die 4te ist die identische Abbildung).
Lucia84
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 21:34:41    Titel:

e zählt aber laut Aufgabenstellung nicht dazu oder ist da was anderes gemeint?
Wenn ich mir das so anschaue kann ich mir nur vorstellen dass man die Punkte mit der 0 verbinden könnte.
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 21:46:34    Titel:

Die bisher betrachteten Drehachsen (1 festhalten, 2 festhalten usw...) gingen allesamt durch die 0. Das ist also nichts besonderes. Aber wie sieht es mit Drehachsen durch die Kantenmitten aus ?
Wie verändern sich die Eckpunkte wenn ich einen Zahnstocher durch d (Mitte zwischen 2 und 4) und c (Mitte zwischen 3 und 1) steche und nach rechts drehe ? Wie weit muss ich drehen, damit das Tetraeder wieder so da steht wie man es im Bild sieht ?
Lucia84
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 22:12:02    Titel:

Ich habe mir das mal so eingezeichnet. Es ist aber schwer vorstellbar wie sich das drehen soll. Bei 1, 2....war es ja noch relativ leicht, weil ich da die Zahlen einfach vertauschen musste. Hier ist das ja auch so, aber ich kann mir das nicht vorstellen wie das dann passiert.

Dass er in der Ausgangsposition ist, dann muss er sich ja um 360 Grad drehen oder?
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 22:30:59    Titel:

Ich gebe zu ich habe hier einen kleinen vierseitigen Würfel. Laughing
Ich glaube vorstellen kann man sich das auch, ist wohl ne Frage der Übung. Aber wer will schon täglich Tetraeder drehen ?

Also: Achse durch d und c. Drehen.
Ergebnis: Nach einer 180 Grad Drehung ist das Tetraeder wieder in Ausgangsposition, aber es haben sich vertauscht: 4 <-> 2 und 3 <-> 1
1 2 3 4
3 4 1 2

Achse durch a und e vertauscht 4 mit 3 und 1 mit 2
1 2 3 4
2 1 4 3

3 mit 2 und 1 mit 4 werden durch die Drehung um die Achse durch f/b vertauscht.
1 2 3 4
4 3 2 1
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