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Was wäre wenn...?
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Raupe_Nimmersatt
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Anmeldungsdatum: 28.12.2005
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 12:49:57    Titel: Was wäre wenn...?

Ich hätte ein paar theoretische Fragen zur Gravitation unterhalb der Erdoberfläche.

Was wäre eigentlich, wenn man von hier aus einen Tunnel durch die Erde bauen würde (angenommen, die Erde ist eine gleichmäßige, homogene Kugel) und so weit durchgraben würde, dass man an der anderen Seite der Erde wieder herauskäme und nun ein Objekt hineinwerfen würde? Wie würde sich dieses verhalten?
Meiner Auffassung nach würde die Beschleunigung abnehmen, bis diese am Mittelpunkt = 0 ist. Da das Objekt allerdings noch eine Geschwindigkeit verfügt, wird sie weiterfliegen, bis sie wieder zurückgezogen wird. Bei einer Reibungsfreiheit kann ich mir vorstellen, dass diese Kugel endlos so weiter "fliegt".

Und wie hoch ist die Gravitation genau einen halben Radius unter der Erdoberfläche? Oder wie kann ich das errechnen und warum?


mfg Raupe
meluinil
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Anmeldungsdatum: 16.08.2006
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 12:56:32    Titel:

eine wirklich wichtige frage zum thema studium...
Raupe_Nimmersatt
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Anmeldungsdatum: 28.12.2005
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 13:18:45    Titel:

Sry, mir ist da ein Fehler unterlaufen^^
@ einen mod: Bitte verschieben Very Happy
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 13:43:47    Titel:

Hallo Raupe,

im Inneren einer rotationssymmetrischen Kugel wirkt auf einen Probekörper nur die Gravitation der Schichten, die sich unterhalb des Probekörpers befinden. Die Anteile aller darüber befindlichen Schichten heben sich weg.

Für den Stein, den man in einen Tunnel durch den Erdmittelpunkt fallen läßt bedeutet das:
Wie Du sagst, wird er bis zum Erdmittelpunkt beschleunigt. Danach wird der dann gebremst. In Neuseeland kehrt er um, und das Spiel wiederholt sich. Vorausgesetzt, die Massenverteilung im Erdinneren ist gleichmäßig (ist sie aber nicht), braucht das Tunnelpendel für einen Hin- und Herlauf genausolange wie ein Erdsatellit bei der Bahnhöhe 0 für einen Umkreisung: 89,6 Minuten.

Im Abstand eines Halben Erdradius vom Mittelpunkt ist die Gravitationskraft auf den Probekörper folgendermaßen zu berechnen (wieder gleichmäßige Massenverteilung vorausgesetzt): Es befindet sich nur noch 1/8 der Erdmasse unter dem Körper. Dafür ist er doppelt so dicht am Schwerpunkt der Erde wie an der Oberfläche. Das Gravitationsgesetz sagt Dir dann, daß die Kraft nur noch halb so groß ist wie sein Gewicht an der Oberfläche.

Gruß, mike
Dan the Man
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Anmeldungsdatum: 12.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 13:45:57    Titel:

Das Objekt würde mit abnehmender Amplitude zwischen den beiden Tunnelausgängen hin und her schwingen bis es irgendwann im Erdmittelpunkt zur Ruhe kommt, ohne Luftreibung würde es wohl für immer und ewig zwischen den Tunnelausgängen hin und herschwingen.

Gruß,
DtM

Edit: Zu langsam....
armchairastronaut
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 13:59:56    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:
Hallo Raupe,

im Inneren einer rotationssymmetrischen Kugel wirkt auf einen Probekörper nur die Gravitation der Schichten, die sich unterhalb des Probekörpers befinden. Die Anteile aller darüber befindlichen Schichten heben sich weg.


Das hieße dann doch Folgendes: Nur die unter mir liegenden Schichten bedeutet die Kugel mit halbem Radius (und 1/8 des Gesamtvolumens).
Wenn ich nun diese Kugel aus der Erde herausschneide, dann bleibt eine Hohl-Erde mit einer recht dicken Schale übrig. Ich befinde mich am Innenrand dieser Schale. Dann sagst Du aus, dass sich die Gravitation, die die Rest-Erde dort auf mich ausübt, zu Null resultiert? Ich habe da zu Zeit noch ein paar Zweifel.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 14:13:20    Titel:

Hallo armchair,

ist aber so.

Um das vorzurechnen, muß man einfach die Gravitationskraft über irgendeine außenliegende Kugelschale intergrieren. Es genügt sogar eine Komponente der Kraft, nämlich diejenige Komponente, die parallel zur Richtung durch Kugelmittelpunkt und Aufpunkt ist. Die anderen Komponenten verschwinden aus Symmetriegründen.

Die Integration ist etwas mühsam. Aber man muß sie gar nicht zuende führen. Denn das bestimmte Integral läßt sich so substituieren, daß im Integranden eine ungerade Funktion steht und daß die Grenzen symmetrisch zu 0 liegen. Und damit ist dann klar, daß das Integral verschwindet.

Gruß, mike
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 14:21:36    Titel:

Ja, das hört sich echt komisch an. Ich bin über so was bei Rechnungen zur Elektronenpolarisation gestolpert. (Für die nicht-Elektrostatiker: Bei diesem Effekt verschiebt sich die Elektronenhülle gegenüber dem Kern, so dass der Schwerpunkt der Ladungen nicht mehr in der Mitte des Kerns zusammenfällt. Um die Rücktreibende Kraft auf den Kern zu bestimmen wird auch nur der Teil der Elektronenwolke benötigt, der zwischen der aktuellen Position des Kerns und dem Mittelpunkt der Elektronenwolke liegt. Die restlichen Feldanteile heben sich gegenseitig auf - das gleiche Prinzip wie bei diesem Fall durch den Erdmittelpunkt. Wollte es auch nicht so recht glauben, aber es stimmt ofenbar, auch wenn das Skript und andere Bücher sich die Herleitung sparen. Denke, dass elektrisches Feld und Gravitationsfeld sich hier nicht viel nehmen und dass die gleiche Rechnung zum Ziel führt.
Raupe_Nimmersatt
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Anmeldungsdatum: 28.12.2005
Beiträge: 76

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 14:29:18    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:
Hallo Raupe,

Im Abstand eines Halben Erdradius vom Mittelpunkt ist die Gravitationskraft auf den Probekörper folgendermaßen zu berechnen (wieder gleichmäßige Massenverteilung vorausgesetzt): Es befindet sich nur noch 1/8 der Erdmasse unter dem Körper. Dafür ist er doppelt so dicht am Schwerpunkt der Erde wie an der Oberfläche. Das Gravitationsgesetz sagt Dir dann, daß die Kraft nur noch halb so groß ist wie sein Gewicht an der Oberfläche.



Das bedeutet ja wohl, dass der Verlauf der Gravitationskraft unterhalb der Erdoberfläche linear ist.
Ließe sich das denn irgendwie beweisen?
armchairastronaut
Moderator
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2006 - 14:46:43    Titel:

ja, mit Durchintegrieren
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