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U ist Untergruppe?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> U ist Untergruppe?
 
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Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 23:12:07    Titel: U ist Untergruppe?

Hallo,

die Aufgabe heisst:

Let G be a group and U a subset. Show that U is a subgroup if and only if...
u_1 * u_2^-1 E U for any u_1, u_2 E U.

E steht für "element".

Ick blick da nich durch! Ich verstehe die Aufgabenstellung, aber mir sind da irgendwie wenig Angaben und dann ein Beweis...???
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 23:28:04    Titel:

Die A.S. ist auch falsch. Die leere Menge erfüllt die Angabe, aber die Existenz des Inversen ist verletzt.

Sonst. Sei U \subset G eine nichtleere Menge. Dann muss man die Axiome verifizieren:

Lemma 1: e in U.
Beweis: a * a^(-1) = e.

Lemma 2: Es gilt für b in U, b^(-1) in U.
Beweis: e o b^(-1) = b^(-1) in U nach Vor.

Abgeschlossenheit: Sei a,b in U. Dann folgt Lemma 2, dass a o b in U.
Assoziatititititit: Vererbt sich. (d.h. (a o b) o c = wegen G = (a o b) o c)
Neutrales Element: Existiert nach Lemma 1. Eigenschaften vererben sich.
Inverses: Existiert wegen Lemma 2.

Ich denke ich habe nichts vergessen..
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 23:39:28    Titel:

Die A.S. ist auch falsch. Die leere Menge erfüllt die Angabe, aber die Existenz des Inversen ist verletzt.

Wie kommst du drauf? Ich meine, wenn ich mir die Aufgabe anschaue, weiß ich nicht wie ich drauf komme.

Muss ich nicht u_1 und u_2 mit in den Beweis nehmen? Oder spielt das keine Rolle?
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 23:56:01    Titel:

Ok. Crash-Kurs in Prädikatenlogik:

Deine Aussage ist von der Form

Für alle u_1 u_2 in U : ........

Mein Betreuer sagt, wer Punkte (Smile schreibt versteht nichts von Quantoren Smile naja. Die heisst ja eigentlich

Für alle u_1 u_2 aus der Tatsache u_1 u_2 in U folgt ........

und aus A folgt B heisst ja

nicht A oder B.

So nun wenn die Menge leer ist, dann ist u_1 u_2 in U NIE erfüllt wegen des "Nicht-Auswahlaxioms" (verzeiht mir, wenn's geht). Das heisst nicht A oder B ist immer wahr und somit gilt deine Aussage.

Kurz gefasst: Aus falscher Prämisse folgt jede Aussage

Wenn ich gerade tot bin so bin ich ein millionär

Aussage ist war, denn ich bin (gerade noch nicht) tot.
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 00:23:18    Titel:

Habe ich schon mal so in der Art im Zusammenhang mit 1 = -1 gehört.

Was mich noch interessiert, ist, dass als du geschrieben hast...
Sei a,b in U. Dann folgt Lemma 2, dass a o b in U.

Aber nach Lemma 2 heisst es aber:
e o b^(-1) = b^(-1)

Und noch zur Aussage:
"Inverses: Existiert wegen Lemma 2. "

Lemma 2 sagt ja: e o b^(-1) = b^(-1) in U nach Vor.
und e ist ja 1 oder? Demnach ist es ja 1/b
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 00:47:18    Titel:

Eins nach dem Anderen:

Was mich noch interessiert, ist, dass als du geschrieben hast...
Sei a,b in U. Dann folgt Lemma 2, dass a o b in U.

Sei a, b in U. Dann ist nach Lemma 2 auch b^(-1) in U.

Lemma 4: Linksinverses ist gleich rechtsinverses
Beweis: Sei b o a = e und a o c = e. Dann gilt
b = b o e = b o (a o c) = (b o a) o c = e o c = c

Lemma 4: Inverses ist eindeutig.
Beweis: Sei b und c (links-)inverse von a. Dann gilt

b = e o b = (c o a) o b = c o (a o b) = c o e = c

So nun aber: b = (b^(-1))^(-1) wegen Lemma 4 und 3. D.h.

a o (b^(-1))^(-1) ist in U

nach Vor.

Aber nach Lemma 2 heisst es aber:
e o b^(-1) = b^(-1)


Klar ??

------------------

Und noch zur Aussage:
"Inverses: Existiert wegen Lemma 2. "

Lemma 2 sagt ja: e o b^(-1) = b^(-1) in U nach Vor.

nein das ist der Beweis:

Lemma 2 sagt: wenn b in U dann b^(-1) in U. wegen den obigen.

und e ist ja 1 oder? Demnach ist es ja 1/b ????????????????

Vorsicht mit der 1. Das ist zu sehr auf Zahlen aus.

Ich hoffe ich träume nicht. Das Skript ist so sau unübersichtlich. Ich hoffe, konnte helfen.
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 00:48:40    Titel:

Hab was vergessen. Die Lemmas müssten in der Vorlesungsmitschrift bzw. Skript bzw. Buch drin sein.
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 00:55:23    Titel:

Danke, werde es mir mal anschauen.

Vielleicht ist es für mich verwirrend, weil mein Skript anders ist bzw. die Beweisführung von meinem Prof.
Das Skript von mir bekommt man hier, falls es dich interessiert.

http://hilbert.math.uni-mannheim.de/LA04-05.html
algebrafreak
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Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 01:09:51    Titel:

Nene Alles ist da.

Meine Lemmas 3+4 sind Lemma 1.3(ii) Die anderen Lemmas 1-2 sind ja von mir und hängen von der Aufgabe ab.

Ich versuche mal das nochmal ohne Mathe-Kramm:

Du hast diese Eigenschaft. D.h. du musst die verwenden, um die 4 Axiome (deine Definition 1.1) nachzuweisen.

Das allereinfachste ist die Assoziatitivät. Du hast in deiner Untermenge nur elemente aus G, für die die Verküpfung definiert ist und assiziativ ist. Also wenn der Wert, der da rauskommt in U liegt (Abgeschlossenheit) dann ist Assoziativität geschenkt.

Abgeschlossenheit. Da musst Du zeigen, dass die Verknüpfung wieder in U liegt. Das machst du dadurch, dass du sagst, dein zweites element hat ein Inverses und dieses Inveres nochmal hoch -1 (was dann wieder wegen der Eindeutigkeit dein zweites Element ergibt) steht jetzt da. Also : b = (b^(-1))^(-1) Aber da steht doch in a o (b^(-1))^(-1) etwas hoch -1 rechts. Und somit ist das Ergebnis nach Voraussetzung drin.

Die Existenz des Neutralen ist normal eine Folgerung. Wenn etwas eine Untergruppe ist, dann ist das neutrale element automatisch mit dabei. Das zeigt das Lemma 1. Warum. Weil wegen deiner Voraussetzung a o a^(-1) in U liegen muss und das ist ja gerade das e

Und als letztes die Existenz des Inversen. Neutrales mit etwas ist wieder das etwas. Also neutrales mit b^(-1) ist b^(-1) in U. Alles klar.

So. Und das einziger Problem, was man hat ist die Reihenfolge, wie man das zeigt. Man muss dann halt schauen, dass du da was du am meisten verwendest vorher beweist. (ich habe es nicht so gemacht).

Uhhhhh. Schweißßßßß
Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 15:09:42    Titel:

Vielen Dank Dir noch!!!


So. Und das einziger Problem, was man hat ist die Reihenfolge, wie man das zeigt. Man muss dann halt schauen, dass du da was du am meisten verwendest vorher beweist.

Genau das ist eines meiner Probleme und hinzu kommt, dass das alles noch für mich zu abstrakt ist, da ich erst angefangen habe zu studieren.
Wenn ich mir deine Lösung in Ruhe anschaue und die Lemmas dann wird mir das schon klar, aber es fällt mir anfangs schwer, weil es für mich wie gesagt etwas zu abstrakt ist.

Deshalb komme ich auch bei dieser Aufgabe nicht weiter,...

Let G be a group. Show that the map

G --> Bij (G,G); a --> l_a = (left multiplication with a)

is an injective group homomorphism.
Remark: part b) shows that any finite group is isomorphic to a subgroup of a symmetric group.

Bij. steht ja für bijektiv und ich weiß, dass das bedeutet dass G injektiv und surjektiv sein muss.
Haben sogar mal früher extra Aufgaben gemacht um Injektivität usw zu zeigen. Aber jetzt im Zusammenhang mit einer Gruppe???
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