U ist Untergruppe?

Rulli · Verfasst am: 03 Nov 2004 - 16:09:44 Titel:

also die aufgabe besteht eigentlich, so wie sie da steht, a priori, aus mehreren schritten
" beiweise dass f:G -> Bij(G,G) ; a->l_a ein injektiver gruppenhomomorphismus ist"
da gibt es folgendes zu tun (vielleicht hast du ja shcon einiges davon getan...)
1) beiweisen dass Bij(G,G) auch wirklich ne gruppe ist!
2) beweisen dass fa in dem fall ein gruppen homomorphismus ist
3) beweisen dass f injektiv ist

1) dass Bij(G,G) ne gruppe ist, ist intuitiv klar:
- wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch fog bijektiv, also fog in Bij(G,G)
- die komposition von abbildungen ist immer assoziativ
- die identität auf G ist ne bijektion
- jede bijektive abbildung ist invertierbar, und das inverse ist immer selbst wieder ne bijektion

2)wenn G und H zwei gruppen sind, dann nennt man eine abbildung f :G ->H nen gruppenhomomorphismus wenn
- f(gg')= f(g)f(g')
- f(e) = E, wobei e die identität in G und E die identität in H ist
dein f hier ist ja definiert als
f(a) = l_a <=> für alle g in G, l_a (g) = ag
dann gilt, für alle g in G, f(ab)(g) =l_ab(g) =(ab)g =a(bg) =l_a (l_b(g)) = (l_a o l_b) (g)=[f(a) o f(b)] (g)
=> f(ab) = f(a) o f(b)
desweiteren gilt für alle g in G, f(e)(g) = l_e(g) =eg =g =Id(g).
=> f(e) = Id
also ist f ein gruppenhomomorphsmus

3) f(a) = f(b) <=> l_a = l_b <=> für alle g in G, l_a (g) = l_b (g) <=> für alle g in g, ag=bg <=> a=b
also ist f injektiv

Franziska22 · Gast

Vielen vielen vielen lieben Dank!!
Ich habe den 3. Teil fast richtig gehabt. Beim 2. war das schon eher durcheinander

Ich habe kurz noch paar Fragen.

f(e) = E, wobei e die identität in G und E die identität in H ist

kann ich die Identitäten auch so zu Papier bringen? f(e_id) = E_id ?
Verwirrt mich bisschen, weil wir bisher Identitäten nur mit "id" bezeichnet haben.

für alle g in g, ag=bg <=> a=b, also ist f injektiv

Meinst du "Für alle g element G" ??

Rulli · Verfasst am: 03 Nov 2004 - 16:57:36 Titel:

mit den identitäten e und E meinte ich "die 1" in G, respektiv H... die neutralen elemente also...
ge= eg=g
hE=Eh=h
wie du die jetzt anschreibst und wie du die nennst ist eigentlich egal (wie meine profs immer zu sagen pflegen: "nenn sie schlumpf wenn du magst" Very Happy

)

ja mir "g in g" meinte ich natürlich "g in G"... tippfehler, sorry...

Franziska22 · Gast

Danke euch Zweien!!!

Ich werde mir die Aufgaben nochmal anschauen und dann nach den "Lemmas" oder Beispielen im Skript suchen dass ich mir die Stellen im Skript bei möglichst allen Schritten notiere!

algebrafreak · Verfasst am: 03 Nov 2004 - 22:49:46 Titel:

Ich bin nicht alleine da Smile

Was für ein Glück. f(e) = E in obiger Definition ist nicht notwendig, wegen f(a) o' f(e) = f(a o e) = f(a) o E und wahlweise Eindeutigkeit von e oder Kürzungsregeln.

Guest · Gast

da wird sich der hertling aber freuen, dass hier alle seine übungsaufgaben gelöst werden.. naja, mir solls recht sein

algebrafreak · Verfasst am: 04 Nov 2004 - 00:17:58 Titel:

Und nicht nur gelöst, sondern auch kritisch begutachtet Smile