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Lösung zur folgender Aufgabe...?
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Nolly
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Nov 2004 - 23:51:19    Titel: Lösung zur folgender Aufgabe...?

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären?
Der Querschnitt eines 25 m langen Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der umfang der Querschnittsfläche4 beträgt 18 m. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit das Tunnelvolumen möglischst groß wird?
Gruß Nolly Question Wink
tOSCh
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Anmeldungsdatum: 04.10.2004
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 00:17:21    Titel:

Du musst aus den Flächen eine Gleichung bilden. Also A=???
Versuch es einfach mal. A=A1+A2 und dann musst du das ableiten.
genauer kann ich im moment nich helfen. Cyah, tOSCh
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 10:35:02    Titel:

Also..
Das ist eine Extremwertaufgabe, weil da steht: etwas soll maximal oder minimal werden.

Bei Extremwertaufgaben gehst du so vor:

Die Hauptbedingung ist die Formel dessen, was maximal oder minimal werden soll.
Bei dir soll das Volumen des Tunnels maximal werden.
Daher brauchst du die Formel des Tunnelvolumens als Hauptbedingung:

HB: V(Tunnel) = Grundfläche mal Höhe(Rechteck) + Grundfläche mal Höhe (Halbkreis)

Mach eine Skizze! Extremwertaufgaben gehen nur, wenn man Skizzen macht und alles ganz genau bezeichnet.
Du hast ja ein Rechteck mit oben aufgesetzter Halbkugel - da musst r einzeichnen, dann siehst du nämlich, dass die Breite des Tunnels 2 r ist. Die Länge des Tunnels ist 25 m und die Höhe bezeichnest du mit h.

daher:

HB: V(Tunnel) = 2r * h *25 + (r²pi)/2* 25

V(Tunnel) = 50rh + 25r²pi/2

So! Nun musst du aus dieser Gleichung eine Funktion machen, denn nur Funktionen kann man differenzieren. Eine Funktion hast du aber erst dann, wenn auf der linken Seite deiner Gleichung 1 y (nicht 3 y, nicht y², nicht y/2) steht. Bei dir steht auf der linken Seite 1V - also passt das.
Aber: auf der rechten Seite einer Funktion darf nur eine einzige Unbekannte vorkommen. du hast aber 2 Unbekannte....nämlich r und h.
Daher braucht man nun eine Nebenbedingung. Und das soll eine Formel sein, in der deine Unbekannten der Hauptbedingung vorkommen und eine gegebene Zahl. Und jetzt musst auf deine Skizze schauen, was man über r und h noch sagen kann und wie man die gegebene Zahl da einbauen kann. Und da siehst dann, dass der Umfang des Tunnelquerschnitts aus dem halben Umfang des Kreises und 3 Seiten des Rechtecks besteht und dass der Umfang 18 m beträgt.

Daher:

NB: U = 2h + 2r + rpi
NB: 18 = 2h + 2r + rpi

(U(eines Kreises) = 2r*pi...und weil du ja nur einen Halbkreis hast, ist der Umfang des Halbkreises r*pi)

Jetzt drückst du dir aus der Nebenbedingung eine Unbekannte aus, damit du das in die Hauptbedingung einsetzen kannst, denn dann hast in der Hauptbedingung nur noch eine einzige Unbekannte und somit eine Funktion.

18 - 2r - rpi = 2h
(18 - 2r - rpi)/2 = h

in HB einsetzen für h:

V = 50r * (18 - 2r - rpi)/2 + 25r²pi/2

nun vereinfachen, so weit wie möglich.

V(r) = 450r - 50r² - 25r²pi + 25r²pi/2
V(r) = 450r - 50r² - 25r²pi/2

Und jetzt geht es darum...dein Volumen soll ja maximal werden. Wie berechnet man einen Tiefpunkt ( = etwas minimales) oder einen Hochpunkt (etwas maximales)?
Wenn man die 1. Ableitung 0 setzt, denn die 1. Ableitung ist die Steigung der Tangente in jedem beliebigen Punkt der Kurve und in jedem Hochpunkt und Tiefpunkt ist die Steigung der Tangente 0. Daher:

Wenn f'(x) = 0, dann kriegt man die x-WErte von etwas Maximalem oder Minimalem heraus.

Daher musst du nun diese Funktion ableiten und 0 setzen, denn dann kriegst du für r die Zahl heraus, sodass das Volumen ein Maximum wird.

V'(r) = 450 - 100 r - 50pi*r
und das jetzt 0 setzen

450 - 100 r - 50pir = 0

100r + 50 pi *r = 450

r*(100 + 50pi) = 450
r = 450/(100 + 50pi)
r = 9/(2 + pi)

nicht in Kommazahlen rechnen, denn sonst bekommst du lauter ungenaue Ergebnisse, für die du keine Punkte bekommst. Leider muss man eben bei Extremwertaufgaben alles über Brüche, Vereinfachen, auf gemeinsamen Nenner, übers Kürzen, Potenzen, Wurzeln wissen...und alles über Gleichungen...

Nun weißt du, wie groß r sein muss und wenn du das in deine Nebenbedingung zurückeinsetzt, bekommst für h die Zahl heraus. dann setzt du es in deine Volumsformel ein und weißt dann, wie groß das maximalste Volumen deines Tunnels ist.

hoff, ich hab dir das verständlich erklären können...

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 10:49:24    Titel:

ups..da hab ich einen Rechenfehler:

ab der Zeile, in der ich abgeleitet hab:

V'(r) = 450 - 100r - 25pi *r

450 - 100r - 25pi*r = 0
100 r + 25 pi *r = 450
r* ( 100 + 25pi) = 450
r = 18/ ( 4 + pi)

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 08 Dez 2004 - 21:25:13    Titel:

müssen beim Vereinfachen nicht in der Klammer alle Vorzeichen umgedreht werden?
Gast







BeitragVerfasst am: 08 Dez 2004 - 21:38:18    Titel:

hmm lalala hab nichts gesagt... Wink
Gast







BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 19:18:19    Titel:

servus ^^

hab so ne ähnliche aufgabe bekommen (muss max. flächeninhalt sein..und u ist nicht gegeben.....eigentlich sind gar keine zahlen gegeben sondern nur variablen.)

frage: warum ist HB: V(Tunnel) = 2r * h *25 + (r²pi)/2* 25

NB: U = 2h + 2r + rpi

warum ist das so richtig?? das müsste doch bei NB U=2h+2r + 2rpi heissen. plz erklären
Gast







BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 19:23:39    Titel:

Wenn der Querschnitt des Tunnels ein Rechteck ist mit oben aufgesetztem Halbkreis.....so ist der Durchmesser des Kreises: 2r und der ist zugleich die Länge des Rechtecks

Das Volumen eines Körpers berechnet man mit: Grundfläche mal Höhe

Also muss ich die Grundfläche ( = Querschnitt) * der Höhe ( = Länge des Tunnels) rechnen.

Grundfläche = Grundfläche des Rechtecks + Grundfläche des Halbkreises
= 2r * h(Rechteck) + r²* pi / 2

alles klar nun?

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 19:26:01    Titel:

nö kapier es immer noch net du erklärst des immer so komisch kathi... wirklich ne frau ?
Gast







BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 19:26:22    Titel:

Zusatz:

die Nebenbedingung ist der Umfang des Querschnitts:

Also die Grundseite des Rechtecks, dann eine Höhe dazu, dann den Halbkreis entlang und die 2. Höhe des Rechtecks runter = Umfang

U(Kreis) = 2* r * pi
U(Halbkreis) = r * pi

U = 2r (Grundseite des Rechtecks) + 2 h (die 2 Höhen des Rechtecks) + r * pi (Länge des Halbkreises)

lg katja
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