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A und B, was machen?
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Franziska22
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 17:48:36    Titel: A und B, was machen?

Guten tag!

Let A and B be nonempty subsets of the set of real numbers R (reelle) such that

(a) A u B = R;
(b) if a E A and b E B then a < b;
(c) A contains no largest element.

Prove B contains a smallest element.

was muß ich genau beweise? Ist a < b immer?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 03 Nov 2004 - 18:01:20    Titel:

hi!

aus (b) folgers du dass AnB ={}. wäre nämlich AnB nciht leer, dann gäbe es ja mindestens ein x in A welsches auch in B ist... aber wegen (b) müsste dann x<x, was ja unmöglich ist.

aus (b) folgers du des weiteren dass sup A <= inf B, anders ist das ja nciht möglich.

wegen (c) kann nun aber sup A kein element aus A sein, ansonsten hätte A ein maximun.

aber wegen (a) muss dann sup A in B sein.

es gibt also in B ein element, sup A, welches kleiner oder gleich inf B ist. das ist aber nur möglich wenn inf B = sup A.

da sup A in B, muss auch inf B in B, aber dann hat B ein minimum.

quod erat demonstrandum Very Happy
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