Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Maßskala eines Gefäßes berechnen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Maßskala eines Gefäßes berechnen
 
Autor Nachricht
der Ratlose
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 09:51:27    Titel: Maßskala eines Gefäßes berechnen

Guten Morgen allerseits!

Es zeigt sich, dass ich zu sehr eingerostet bin -- hab' auch heute Nacht keine Lösung gefunden zu folgendem geometrischen Problem:

Ein Gefäß (Form: umgekehrter Kegelstumpf) soll mit einer Maßskala für verschiedene feste Volumina versehen werden. Außer den Volumina sind nur der Durchmesser 'd' der kleineren (Boden-) Fläche sowie der Winkel 'α' bekannt, unter dem sich die Gefäßwandung nach außen neigt (bezogen auf die Bodenfläche).

Gesucht ist also entweder die Höhe 'h' oder die Mantellinie 's' für ein gegebenens Volumen, um den zugehörigen Skalenstrich `anbringen´ zu können.

Die Volumenformel für Kegelstümpfe ist natürlich bekannt, aber wie ist sie geeignet umzustellen, sodass der Durchmesser 'D' der größeren Fläche (= Flüssigkeitsspiegel) rausfällt und stattdessen der Neigungswinkel des Gefäßes eingeht?

Bin äußerst dankbar für jede Lösung -- und garantiert verblüfft! Smile

Der Ratlose
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 12:29:55    Titel:

Schau mal die Abbildung unter "rechtwinkliges Dreieck" an:

wenn Du da jetzt noch den Winkel alpha einzeichnest.....siehst Du die Lösung ?
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 15:35:18    Titel:

Zitat:
wenn Du da jetzt noch den Winkel alpha einzeichnest.....siehst Du die Lösung ?


Um ehrlich zu sein: Nein.

Aber mal sehen, was meinem vernagelten Hirn so auf- und einfällt: Alpha spannt sich auf zwischen der Ebene um 'r2' und 's'. Subtrahiere ich 90°, erhalte ich außerdem den Winkel zwischen der Kathete 'h' und der Hypothenuse 's'. Subtrahiere ich diesen Winkel wiederum von 90°, so erhalte ich auch noch den gegenüberliegenden Winkel, gebildet aus der Kathete (r1-r2) und der Hypothenuse 's'. Soweit richtig?

Ein Dreieck ist eindeutig definiert aus
- 1 Seite und 2 Winkeln
- 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
- 2 Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel
- 3 Seiten

Da mir aber neben meinen beiden netten Winkeln weder 's' oder 'h' noch 'r1' (bzw. r1-r2), im Grunde genommen also rund null Seiten bekannt sind -- was nützt mir da dieses (rechtwinklige) Dreieck Question

Sorry, höchstwahrscheinlich würde ich momentan die Lösung selbst dann nicht sofort erkennen, wenn sie mich grün blinkend unter warnendem Knurren in die Wade beißen würde ... Sad

Kannst du mir bitte noch ein Bisschen auf die Sprünge helfen?

Muchas gracias!

Der Ratlose
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 16:52:25    Titel:

Hey, schon mal sehr gut !

Zitat:
Aber mal sehen, was meinem vernagelten Hirn so auf- und einfällt: Alpha spannt sich auf zwischen der Ebene um 'r2' und 's'. Subtrahiere ich 90°, erhalte ich außerdem den Winkel zwischen der Kathete 'h' und der Hypothenuse 's'. Subtrahiere ich diesen Winkel wiederum von 90°, so erhalte ich auch noch den gegenüberliegenden Winkel, gebildet aus der Kathete (r1-r2) und der Hypothenuse 's'. Soweit richtig?


Genau. Wobei anzumerken bleibt, dass der Winkel gebildet aus der Kathete (r1-r2) und der Hypothenuse 's', exakt alpha ist. r1 und r2 sind ja parallel, und s geht quer durch. Da gibt es irgendeinen Strahlensatz...

Zitat:
Da mir aber neben meinen beiden netten Winkeln weder 's' oder 'h' noch 'r1' (bzw. r1-r2), im Grunde genommen also rund null Seiten bekannt sind -- was nützt mir da dieses (rechtwinklige) Dreieck


Die Formel für das Kegelstumpf-Volumen ist ja

V = pi/12 * h (D²+D*d+d²)

Du brauchst die Höhe des Kegelstumpfs für ein gegebenes Volumen (damit Du den Skalierungsstrich ansetzen kannst)

h = V * 12 / (pi * (D²+D*d+d²))

Ok, Du hast ja d und V gegeben. Fehlt nur noch das D. Jetzt überleg mal ob Du D durch alpha und d ausdrücken kannst.
Der Ratlose
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 11:35:58    Titel:

Hallo, Sheep!

War leider seit Donnerstag verhindert und konnte mich nicht weiter mit meinem `Problem´ beschäftigen.

Dürfte ich dich wohl noch ein wenig behelligen?

Zitat:
Fehlt nur noch das D. Jetzt überleg mal ob Du D durch alpha und d ausdrücken kannst.


Ja, aber h (oder s) geht doch auch mit ein, wenn ich nicht falsch liege:
D = 2h tan(alpha) + d = 2s sin(alpha) + d

Hilft mir das irgendwie?

Bescheidene Frage: könntest du mir denn bitte deine Lösung für h(V,alpha) vorab schon mal nennen, damit ich die zu erstellende Maßskala weitergeben kann (muss gedruckt werden)?

Anschließend würde ich mich dann sehr gern weiter mit den mathematischen Belangen auseinander setzen -- allein schon, um meine diesbezügliche Frustration wieder abzubauen ...

Gruß,
der Ratlose
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 14:47:42    Titel:

Zitat:
Ja, aber h (oder s) geht doch auch mit ein, wenn ich nicht falsch liege


Muss ja auch. Du willst doch eine Skala anbringen. D.h. Du willst die Höhe h wissen für ein gegebenes Volumen V, einen gegebenen Winkel alpha und ein gegebener kleiner Durchmesser d.

Die Volumenformel für den Kegelstumpf ist
V = irgendwas aus D und d

Zuerst musst Du D durch d und alpha ausdrücken, dann bekommst Du:
V = irgendwas aus d, alpha und h
(weil, wie Du erkannt hast, nun die Höhe h eine Rolle spielt)

Dann bring h auf eine Seite:
h = irgendwas aus V, alpha und d

Jetzt kannst Du die Skala anbringen, indem Du für V irgendwelche Volumen nimmst (100ml, 200ml...) und immer h ausrechnest.

Ich habe das durchgerechnet und muss sagen es kommt nichts schönes dabei raus. Vielleicht kann das einer im Forum umstellen oder vereinfachen. Vielleicht liegts auch daran, dass ich mit dem kleinen Radius anstelle des kleinen Durchmesser gerechnet habe. Jedenfalls eine Gegenprobe mit ganz simplen Werten hat funktioniert:

d = 2 bzw. r = 1
D = 6 bzw. R = 3
alpha = 45 grad, tan alpha = 1
Volumen V = 26/3 pi

Ok, und nun hier der "Trumm":

h = 3teWurzel(tan²alpha * (3*V/pi + r³*tan alpha)) - r * tan alpha
der Ratlose
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 18:07:19    Titel:

Zitat:
Muss ja auch. Du willst doch eine Skala anbringen.


Ja klar, ich hatte mich da etwas ungenau ausgedrückt; in deinem vorigen Posting hattest du die Volumenformel schon so umgestellt, dass `h´ links stand, wohingegen ich es jetzt wieder rechts rumhängen gehabt hätte. Nicht weiter wichtig.

Allerdings bedarf dein `Trumm´ noch einer klärenden Rückfrage meinerseits zur Sicherheit:

Zitat:
h = 3teWurzel(tan²alpha * (3*V/pi + r³*tan alpha)) - r * tan alpha


Soll in der inneren Klammer `pi´ allein oder der ganze Term "pi + r³ tan α" im Nenner (und 3V im Zähler) stehen?

Anders ausgedrückt -- du meinst:

h = ([tan² α (r³ tan α + 3 V/π)]^1/3) - r tan α

Oder?

Zitat:
Ich habe das durchgerechnet und muss sagen es kommt nichts schönes dabei raus.


Befürchtest du mit "nichts Schönes" ein falsches Ergebnis?

Gruß,
der Ratlose
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Maßskala eines Gefäßes berechnen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum