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dgl und substitution
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raffnix
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 14:55:42    Titel: dgl und substitution

Hallo

kann mir jemand helfen diese dgl zu loesen !!

4yy' - y^2 = - ( 1+ x)

tipp substitution u = y^2
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 17:03:43    Titel:

u= y^2 => u' =2yy'
deine differentialgleichung wird also:
2u' - u = - ( 1+ x)

dies ist eine lineare homogene differentialgleichung
die zugehörige homogene ist:
2u'-u=0
deren allgemeine lösung ist:
u(x) = C e^(x/2)
wobei C ne konstante ist, komlex oder reel, je nachdem wo da grad arbeiten willst.

als partikuläre lösung der inhomogenen gleichung kann man probieren
up(x) = a + x
wobei a eine noch zu bestimmende konstante ist.
durch einsetzen erhält man
2 -a -x = -1-x
durch koeffizientenvergleich erhält man
2-a = -1 => a = 3
also up(x) = x+3

die allgemeine lösung der inhomogenen gleichung ist dann
u(x) = C e^(x/2) + x+3

jetzt musst du nur noch zu y übergehn...
da hängt es jetzt sehr davon ab ob du nur im reellen arbeitest, oder auch komplexe lösungen zulässt.

arbeitest du nur im reellen, dann muss wegen u = y^2 dein u immer poisitiv sein. nur in den teilintervallen wo u >= 0 da existieren jeweils 2 möglichkeiten für y, nämlich plus oder minus die wurzel von u

lässt du auch komplexe lösungen zu, dann gibt es überall 2 lösungen...
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 17:04:49    Titel:

ups ich miente natürlich am anfang es sei ne lineare INhomogene differentialgleichung... Embarassed
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