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skalarrechnung, parameter usw.
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Laura1234
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 19:42:38    Titel: skalarrechnung, parameter usw.

Hey, es wär echt lieb, wenn mir jemanden ein paar sachen erklären könnte. Crying or Very sad
Was genau ist ein skalarprodukt?
Wie kommt man von der normalenform zur Parameterform. Wenns geht möglichst einfach erklärt. Smile
Gast







BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 09:39:27    Titel:

Ein Skalarprodukt hast du immer dann, wenn du zwei Vektoren miteinander multiplizierst.

Denn dann kommt nicht ein neuer Vektor raus, sondern eine Zahl:

(3/2/ - 1) * (-1/ -1/ 5) = 3*2 - 2 * 1 - 1*5 = 6 - 2 - 2 = 2

Was bedeutet nun die Zahl 2?

Und zwar ist das ein Flächeninhalt, der zwischen diesen beiden Vektoren liegt, wenn man den einen Vektor normal projeziert auf den anderen und ihn um 90° dreht. Aber das ist weiter unwichtig........wichtig ist, dass bei Multiplikation zweier Vektoren eine Zahl entsteht und kein neuer Vektor.
Und was noch wichtig ist:

Wenn du 2 Vektoren miteinander multiplizierst und es kommt 0 raus, dann weiß man, dass die beiden im rechten Winkel aufeinander stehen.

Vektora * Vektorb = 0 >> a im rechten Winkel auf b

das kann man auch total einfach beweisen:

vektora = (4 / 3)
dann ist ja sein Normalvektor n = ( 3 / - 4)

der Normalvektor muss im rechten Winkel auf den andern Vektor stehen:

(4/3) * (3 / - 4) = 4 * 3 - 3*4 = 12 - 12 = 0

daher.....a steht im rechten Winkel auf n


2. Frage:

Wie kommt man von Normalvektorform auf Parameterform:

wozu ist eine Geradengleichung da?
- Damit du dir jeden beliebigen Punkt, der auf der Gerade liegt, berechnen kannst. Da ja jeder PUnkt aus einer x und einer y-Koordinate besteht, muss in der Gleichung x und y drin stehen.
z.b.
3x - 4y = 7
das x und das y sind die Koordinaten von EINEM einzigen Punkt (x/y).
Und die Gleichung dient nur dazu, dass du dir jeden beliebigen Punkt berechnen kannst.
Wie macht man das nun?
Du sagst: Ich will den Punkt von der Gerade wissen, dessen x-Koordinate z.b. 5 ist. Denn dann ist die Geradengleichung verpflichtet, dir das dazugehörige y zu sagen, sodass du dann die Koordinaten eines Punktes hast.

daher:

3*5 - 4y = 7
- 4y = - 8
y = 2 >>>> dein Punkt lautet nun: P(5 / 2)

3x - 4y = 7 >> diese Gerade steht in Normalvektorform da!

Was kann man sich nun von dieser Gerade ablesen?
den Normalvektor >> denn der ist: n = (3 / -4)

Und was muss man von einer Geraden wissen, wenn man in die Parameterform einsetzt? - Einen Punkt, der auf der Gerade oben liegt UND den Richtungsvektor der Geraden.

Einen Punkt hast schon berechnet.....nämlich P( 5/2)
den Normalvektor kennst du auch schon.......den brauchst nur umdrehen und einer Koordinate ein anderes Vorzeichen mitgeben - denn dann hast den Richtungsvektor gebildet:

n = (3 / - 4) >> a = ( 4 / 3)

Parameterform:

X = bekannter Punkt + t * Richtungsvektor

X = (5/2) + t * (4/3)

Und X ist wieder ein beliebiger Punkt X (x/y), der auf der Gerade oben liegt. Wenn du da für x z.b. 3 einsetzt, dann kannst dir das dazugehörige y berechnen.
denn für die x-Koordinate gilt:
x = 5 + 4t
y = 2 + 3t

nun für x 3 einsetzen:
3 = 5 + 4t
-2 = 4t
t = -1/2

das dann in die y-Koordinate einsetzen und dann kriegst dein dazugehöriges y:

y = 2 + 3* (-1/2)
y = 4/2 - 3/2
y = 1/2

daher....beliebiger Punkt P = (-1/2 / 1/2)

Verstehst nun?

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 09:51:05    Titel:

ups...hab mich verschrieben.....der letzte Punkt muss heißen: P ( 3 / 1/2)...weil ich ja für x = 3 eingesetzt hab.

katja
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 18:38:47    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
Ein Skalarprodukt hast du immer dann, wenn du zwei Vektoren miteinander multiplizierst.

Äh, ich kann auch das Vektorprodukt nehmen, bei dem auch zwei Vektoren multipliziert werden, aber ein Vektor rauskommt.

Ein Skalarprodukt ist erstmal eine Abbildung, die zwei Elemente des Vektorraums, also zwei Vektoren, auf eine reelle Zahl (könnte auch eine andere skalare Größe sein, aber beschränken wir uns darauf) abbildet. Man bezeichnet diese Größe allgemein mit < , >. Wichtig sind nun folgende Eigenschaften:

<x,x> >= 0, <x,x> = 0 => x = 0
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst (Das Quadrat seines Betrages) ist also nie negativ und Null nur dann, wenn man den Nullvektor einsetzt.

<x,y> = <y,x>
Auf die Reihenfolge kommt es nicht an (zumindest, wenn auf reelle Zahlen abgebildet wird)

<ax + by,z> = a <x,z> + b <y,z>
Das Skalarprodukt ist also linear.

Wenn du jetzt den Vektorraum R^3, also die dreidimensionalen Vektoren, betrachtest, dann ist eine Realisierung der obigen Eigenschaften das euklidische Skalarprodukt, dass man eben erhält, indem man die ersten, zweiten, dritten Komponenten der Vektoren jeweils multipliziert und das alles aufsummiert. Das schreibt man dann (zumindest in der Schule) mit einem hochgestellten Punkt zwischen den Vektoren (die dann auch meist einen Pfeil über dem Buchstaben tragen, was ich oben weggelassen habe); so bist du es vermutlich gewohnt.
"Das" Skalarprodukt, das man in der Schule kennenlernt, ist also nur ein mögliches Skalarprodukt, wenn auch ein wichtiges.
algebrafreak
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 19:04:48    Titel:

Uhhh,

Zitat:
Ein Skalarprodukt hast du immer dann, wenn du zwei Vektoren miteinander multiplizierst.

Denn dann kommt nicht ein neuer Vektor raus, sondern eine Zahl:


Uhhh.... Auauauaua ...
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