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surjektiv?
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Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:25:46    Titel: surjektiv?

Hallöchen,

ich habe mal ne Frage an die Mathegenies Wink Ich sitze hier über Übungen zum Thema injektiv, surjektiv und bijektiv. So einiges kann ich ja auch beantworten, aber bei folgender Aufgabe fehtl mir die Idee zur Lösung:

Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch Angabe eines Gegenbeispiels), dass für alle Mengen X,Y und Z und alle Abbildungen f: X -> Y und g: Y -> Z die folgenden Behauptungen richtig sind:

a) Wenn f und g surjektiv sind, so ist auch g ° f surjektiv.
b) Wenn g ° f surjektiv ist, so ist auch g surjektiv.
c) Wenn g ° f und g surjektiv sind, so ist auch f surjektiv.

Ich hab noch einige Aufgaben, wo ich das injektive beweisen muss. Das krieg ich auch hin, aber wenn es um "surjektiv" geht, bin ich ratlos....... Question

Kann mir jemand helfen?

Dankeee!!!!!

Sinchen Very Happy
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:33:28    Titel:

Ich habe das schon mal in diesem Forum beantwortet. Weiss nur nicht wo. Es sollte da doch eine Suchmaschine geben?

Steht aber sowieso in jedem Linalg-Buch bzw. Skript.
Sheep
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:36:17    Titel:

zu a)

fang "von hinten" an:

nimm ein beliebiges z aus Z. Da die zuletzt angewandte Funktion g surjektiv ist, gibt es auch ein y aus Y mit g(y) = z. Aber die zuerst angewandte Funktion f ist auch surjektiv, folglich existiert auch ein x aus X mit f(x)=y. Also gilt g*f(x) = g(f(x)) = g(y) = z.

Du findest zu jedem Bild ein Urbild....also ist g*f surjektiv.
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:37:38    Titel:

eine funktion f: A->B ist ´surjektiv wenn für jedes y in B ein x in A existiert so dass y=f(x)

1)nehmen wir ein z in Z. da g surjektiv ist, gibt es ein y in Y sodass z =g(y). aber da auch f surjektiv ist gibt es für jedes y in Y ein x in Y sodass y=f(x). beides zusammen bedeutet dann, für jedes z in Z gibt es ein x in X sodass z= g(f(x)) = (gof)(x). und somit ist gof surjektiv

2) wenn jetzt gof surjektiv ist, dann gibt es für jedes z in Z ein x in X sodass z =(gof)(x) = g(f(x)). aber dann gibt es für jedes z in Z auch ein y in y (=f(x)) in Y sodass z=g(y). somit ist g surjektiv

3)bist du dir hier sicher dass du die aufgabe richtig gelesen hast?
Sinchen
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Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 36
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 22:59:23    Titel: yep

Ja, die 3. Aufgabe ist richtig so! Hab noch mal mit dem Arbeitsblatt verglichen. Ist denn irgendwas komisch an der Aufgabe? Ich in meinem noch nicht so stark vorhandenen Uni-Mathe-Wissen erkenne doch sowas nicht Wink Geht denn 3. nicht?! Muss doch?!

Danke aber schon mal für die Antworten!!

Sinchen
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 23:07:13    Titel:

ach so.... ja ich hatte falsch gelesen was du geschrieben hattest... da steht ja beweisen ODER WIDERLEGEN Very Happy
ok, also dann ist c) falsch...
denn nimm mal
f:R-> R; x-> 0
g:R-> {0}
y -> 0
dann gilt
gof : R -> {0}
x -> 0
offensichtlich sind gof und g surjektif, f ist es aber nicht
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2004 - 23:12:48    Titel:

BÄÄÄÄhhh...

Setze X = {1,2}, Y = {1,2}, Z = {1} und f(2) =2, f(1) =2, g(1) = 1, g(2) = 1. Dann ist f o g surjektiv, g surjektiv aber f nicht.
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