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Primzahlen
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gast 2111
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 12:28:59    Titel: Primzahlen

Komme allein nicht auf die Lösung folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Primzahlen p, für welche 4*p+1 eine Quadratzahl ist.
Hinweis: Offensichtlich muss4*p+1 eine ungerade Quadratzahl sein.

Hat das was mit Primfaktorzerlegung zu tun? Ich weiß es echt nicht! Wäre für eure Hilfe SEHR dankbar!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 13:42:37    Titel:

Mal schauen. Vielleicht liege ich falsch, aber ein bischen Dampf muss sein.

Angenommen wir haben eine primzahl p mit 4p + 1 eine Quadratzahl. Dann ist 4p + 1 ungerade, und wegen: quadrate gerader zahlen sind gerade folgt: es ein k gibt mit

4p + 1 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
4p = 4k^2+4k
p = k^2+k
p = k(k+1)

Nun besitzt p eine multiplikative Zerlegung. Nach eigenschaft von Primzahlen muss diese trivial sein. Also k = 1 oder k+1 = 1. Im ersten fall ist p = 2 und um zweiten p = 0. Das sind also alle.
gast2111
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 19:17:46    Titel:

sorry aber versteh ich nicht ganz. meinst du du könntest es nochmal für doofe erlären? wäre schön
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 19:42:16    Titel:

Ich versuche das mal ausführlicher.

Eine Primzahl p (in N) besitzt nach Definition nur triviale multiplikative Zerlegungen:

p = 1 * p und p = p * 1

Soviel zu Primzahlen allgemein. Also zunächst einmal 2 ist eine Primzahl, denn 2 = 1*2 = 2*1 sind die einzigen multimplikaksjdidi Zerlegungen von 2. Weiter gilt 2*4 + 1 = 9 und 9 ist eine Quadratzahl. Also liegt 2 in der gesuchten Menge. Bei 0 kann man streiten, denn 0*3 = 0 usw. Daher lassen wir das. Das ist mir zu esotherisch.

So jetzt gilt es zu zeigen, dass es keine andere Primzahl als 2 (und womöglich 0) die Bedingungen erfüllt.

Lemma 1: Sei z eine natürliche Zahl. Dann folgt: z ist gerade genau dann, wenn auch z^2 gerade ist.

Beweis: Gerades z lässt sich schreiben als z = 2k für ein natürliches k. Daher gilt z^2 = (2*k)^2 = 4k^2 = 2*(2k^2). Offensichtlich wird also z^2 durch 2 geteilt und ist somit gerade. Sei nun z^2 gerade. Angenommen z^2 wäre gerade, aber z nicht. Dann lässt sich z als 2k+1 schrieben mit k in N. Daruas folgt z^2 = (2*k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 und somit ungerade. Widerspruch.

Angenommen wir haben ein Primzahl p, die die Vor. erfüllt. Dann ist ja 4*p + 1 eine Quadratzahl. Sagen wir mal z^2. 4*p ist gerade (2*(2*p)) also ist 4*p + 1 ungerade. Also nach Lemma 1 ist z^2 = 4*p + 1 ungerade und somit z ungerade. Also kann man z als 2k+1 schreiben. Jetzt ist nicht mehr viel zu machen.

z^2 = (2*k+1)^2 = 4*p + 1

Die Lösung ist, wie es oben steht, p = k (k+1)

Jetzt haben wir eine multiplikative Zerlegung einer Primzahl k(k+1). Und die muss ja nach Vor. und Def. trivial sein. Also einer der Faktoren muss eine Einheit in N sein, also 1 (die einzige). Daraus folgt entweder k = 1 oder k+1. Setzt man das in p = k*(k+1), so bekommt man p = 2 oder p = 0.

Zur Interpretation des Ergebnisses: p = 0 ist womöglich keine Primzahl (je nach Def) und somit womöglich auszuschliessen. Somit ist 2 auch die einzige Primzahl, die die Vor. erfüllt.

Fertig.

Tip: Falls Du was nicht nachvollziehen kannst, sozitiere die Stelle. So fällt es mir leichter einen Kommentar zu machen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 20:14:13    Titel:

Noch was für algebraiker. Ich bin mir dessen bewusst, dass ich hier eine "falsche" Definition von "Prim"-zahlen verwende. Allgemein ist das, was ich hier gepostet habe die Definition von "irreduzibel" (also jede multiplikative Zerlegun p = a b, hat entweder a oder b als Einheit und p ist keine Einheit). Die richtige Definition ist natürilch aus p | ab folgt p | a oder p | b und p ist keine Einheit. Aber da man hier in einem Hauptidealbereich ist, gilt ja die Äquivalenz zwischen p ist prim und p ist irreduzibel. Soviel dazu.
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 16:36:16    Titel:

Ich habe sicher das gleiche aufgabenblatt und brauche für diese aufgabe hilfe:
Finden Sie alle natürlichen Zahlen nEN, sodass n-9=p eine Primzahl ist und 10 / (n²-1)
Hinweis: Setzen Sie n=p+9 in 10 / (n²-1) ein
gast 2111
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 17:38:16    Titel:

vielen dank! jetzt ist es nur noch eine stelle die ich nicht nachvollziehen kann.der letzte schritt den du machst. du sagst k=1 oder k+1. warum? sorry wenn ich mich etwas dumm anstelle!!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 18:20:17    Titel:

Ganz obige Definition für Primzahl heisst ja, ohne formalen Rumgelaber: aus p = ab folgt a = 1 oder b =1. Also aus p = k (k+1) mit a = k und b = k+1 folgt k = 1 oder k+1 = 1 (da habe ich mich vertippt). Undo somit für k = 1 kommt ja p = 1 * (1+1) = 2 und aus k+1=1 folgt k = 0 und p = 0 * (0 + 1) = 0.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 18:22:28    Titel:

Zum Beitrag von @gast (nennt euch doch mal)

... und 10 / (n^2 -1) was?
Julia1983
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 19:45:51    Titel:

Auch Uni-Essen beim Albrecht?

So ganz verstanden hab ich es noch nicht, aber ich denke ich schreibe das einfach mal so ab, besser als nichts.

Wer seid ihr denn?

In welcher Übung seid ihr?

Alles Liebe,
Julia
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