Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Schöne Aufgabe für Freaks
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schöne Aufgabe für Freaks
 
Autor Nachricht
bihor
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 17
Wohnort: Bonn

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 20:11:18    Titel: Schöne Aufgabe für Freaks

Man beweise:
2 < ((n+1)/n)^n < 3
wobei n grösser gleich 2 und n eine natürliche Zahl ist.
Also ich habs induktiv versucht, aber ich schätze es muss anders bewiesen werden, aber auf welchem Weg den? Question
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 20:29:02    Titel:

Probier mal folgendes: Die Funktion n -> (1+ 1/n)^n ist streng isoton. Ab 2 liegt der Wert über 2. Der Grenzwert ist (FS) e < 3. Fertig.
Rulli
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 20:32:57    Titel:

nimm mal die funktion
f(x) = ((x+1)/x)^x = exp [x ln(1 + 1/x)]

indem du die ableitung rechnest riehtst du dass diese funktion für alle x grösser als 2 steigend ist. als muss auch deine folge an=((n+1)/n)^n steigend sein für alle n:
an < a(n+1) , für alle n >=2

desweiteren kannst du rechnen:
a2 = 9/4
also 2< 9/4 = a2 < an für alle n>2
das mist shcond er eine teil

desweitern ist diese folge an bekannt!
sie konvergiert nämlich genau gegen e. aber da deine folge monoton steigt, bedeutet dies:
an < e < 3
dies ist der zweite teil
Rulli
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 20:38:51    Titel:

nimm die funktion
f(x) = ((x+1)/x)^x = exp [x ln(1+1/x)]

indme du die ableitung rechnest kannt du ganz einfahc zeigen dass deine funktion f monoton steigend ist für für alle x grösser als 1.
also muss auch deine folge an=((n+1)/n)^n monoton steigen für alle n grösser als 2.
an < a(n+1) für alle n >=2

nun rechnest du:
a2 = 9/4
dann hast du den ersten teil:
2 < 9/4 = a2 < an für alle n >2

aber deine folge ist eigentlich wohl bekannt:
sie konvergiert gegen e, und da deine folge auch noch monoton steigend ist, hast du:
an < e <3
Rulli
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 20:40:18    Titel:

hm.. da mach ich mir die ganze mühe es nochmal zu tippen, weil ich dachte beim erstem mal sei was shcief gegangen, und dann ist es doch da... hm... Crying or Very sad
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2004 - 20:48:17    Titel:

Die Folge ist auch sonst steigend, dazu bruacht man keine Ableitungen. Das hässliche hier ist, dass die Aufgabe für natürlihe Zahlen gestellt ist. Das lässt vermuten, dass der Ausstieg nach R nicht besonders erfünscht ist. Hmmm.
bihor
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 17
Wohnort: Bonn

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 14:03:17    Titel: Ableitungen

Ich schätze Ableitungen darf man nicht benutzen.
Vielleicht aber die dritte binomische Formel.
Man kann ja rausbekommen: 0< (n+1)^n - 2n^n
Allerdings stört die 2.
exp-Funktion hatten wir auch noch nicht, deshalb sollte was anderes
verwendet werden. Das Infimum ist 2 und das Supremum ist also 3.
Vielleicht muss man das nur irgendwie beweisen? Shocked
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 17:31:48    Titel:

Also die strenge isotonie kannst du direkt zeigen.

n1 < n2 (alles positiv)
1/n1 > 1/n2 (monotonie der addition)
1/n1+1 > 1/n2 +1 (^n ist ein ordnungsisomorphismus für pos. zahlen)
(1/n1+1)^n > (1/n2+1)^n

fertig. Streng isoton.
D.h. die untere Schranke ist geschenkt.

Und die obere kannst du mit Induktion zeigen, indem Du die binomische Formel anwendest:

(1+1/n)^n = \sum_{i=1}^n (n over k) (1/n)^k

Daran kann man es sehen.
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 23:00:15    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Also die strenge isotonie kannst du direkt zeigen.

Hmm, ich kenne "Monotonie", aber was bitte ist "Isotonie"? Das Wort hab ich noch nie gehört. Confused
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Schöne Aufgabe für Freaks
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum