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"a=b^x - c^x" lösbar ?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> "a=b^x - c^x" lösbar ?
 
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tec
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 15:47:34    Titel: "a=b^x - c^x" lösbar ?

Hallo

ich stehe vor der Frage ob diese Gleichung lösbar ist.


a=b^x - c^x

Ich habe erfolglos nach einem Lösungsweg gesucht.

Es wäre nett, wenn ihr mir mitteilen könntet, ob ich aufhören kann zu suchen.

mfG
tec
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 16:07:05    Titel:

ich würd mal behaupten das hängt etwas von deinen koeffizienten ab...

zum beispiel ist die gleichung ja trivial wenn (a,b,c) = (1,1,1) oder (a,b,c) = (0,0,0) oder (a,b,c) = (0,1,1), oder (a,b,c) = (1,1,0)

um allen problemen aus dem weg zu gehen 8existenz deiner exponentialfunktionen) nehmen wir mal an b und c positiv

desweiteren ist sie total einfach falls
1) a=0: dann wird sie zu b^x = c^x
wenn b=c, dann ist die gleichung trivial
wenn b <> c dann muss x=0
2) c =0: dann wird die gleichung b^x=a
wenn a<0, gar keine lösung
wenn a = 0, und b=0 dann trivial, ansonsten unlösbar
wenn a > 0 dann x = ln a /ln b
3) b=0: genau wie 2), nur dass wegen dem minus nun alles umgekehrt ist

wie man diese gleichung nun allgemein löst kann ich dir nicht sagen...
es gibt aber eine notwendige bedingung um zu testen ob eine gleichung eine lösung hat:

Sei f:[a,b] -> R stetig. wenn f(a) und f(b) verschiedene vorzeichen haben, dann besitzt die gleichung f(x) = 0 mindestens eine lösung im intervall [a,b]

das kannst du auch verallgemeinern auf R, indem du [a,b] durch R ersetzt, und f(a) und f(b) durch die entsprechenden grenzwerte.

damit müsstest du mal in der lage sein wenigstens eine ganze reihe (a,b,c) zu finden für für die die gleichung lösbar ist, indem du f(x) = a- b^x +c^x nimmst
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 16:11:39    Titel:

upr... die bedingung ist natürlich nur hinreichend.... keinesfalls notwendig...
tec
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 16:40:17    Titel:

@Rulli:
Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort

Ich werde mal Excel bemühen um mir die Testbedingung mal anzuschauen

Ich hätte wahrscheinlich mehr Angaben machen sollen

a = b^x - c^x

wobei
a > 0

b = e^phi

c = e^(phi-2*PI)

und e soll e sein (e~2,7182818...)

mfG
tec
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 19:23:58    Titel:

ach so...
ja dann kann man schon einiges mehr sagen über die lösungen deiner gleichung...

ich nehm mal an dass phi ein beliebiger reeller parameter ist, und pi halt eben pi...

also erstmal kannst du deine gleichung dann umschreiben zu
e^(-2pi x) + a e^(-phi x) =1

da auf der linken seite der gleichung beide terme positiv sind, müssen sie beider kleiner sein als 1:
e^(-2pi x) <1 => x>0
a e^(-phi x) <1 => -phi x < -ln a => phi x > ln a

daraus kannst du schon folgendes schliessen:
wenn phi <= 0, dann ist die gleichung unmöglich
wenn phi >0, wenn dann überhaupt ne lösung existiert, dann muss sie grösser sein als ln a/ phi

jetzt betrachte die funktion f(x) = e^(-2pi x) + a e^(-phi x) -1, mit a >1, phi > 0, x > ln a/phi (etwas anderes ist ja irrelevant, da es da eh keine mullstelle geben kann

wenn x-> unendlich, dann f(x) -> - 1
wenn x-> ln a/phi, dann f(x) -> a^(-2pi /phi) >0

der satz von vorhin besagt dann dass im intervall ]ln a /phi , unendlich[ mindestens eine lösung geben muss.

beobachte aber folgendes:
f'(x) = -2pi e^(-2pi x) - a phi e^(-phi x) <0

aber da f'(x) <0 muss deine funktion f streng monoton fallend sein. daraus lässt nun schliessen dass deine lösung eindeutig ist.

alles zusammen:
wenn a>1 und phi> 0, dann gibt es genau eine lösung im intervall ]ln a /phi , unendlich[ gibt

wie diese lösung genau ist... da musst du wohl ein näherungsverfahren anwenden
tec
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2004 - 20:53:31    Titel:

Nochmal Danke

Es freut mich das es eine Lösung gibt.

Nur Schade, dass man nur durch ein Näherungsverfahren ran kommt.

mfG
tec

PS: hihi, es hat mich drei Blätter gekostet bis ich erkannt habe

das ln a/phi

(ln a)/phi

ist und nicht

ln(a/phi)
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 23:07:32    Titel: Re: "a=b^x - c^x" lösbar ?

tec hat folgendes geschrieben:
Hallo

ich stehe vor der Frage ob diese Gleichung lösbar ist.


a=b^x - c^x


Also, "lösbar" ist sie ganz bestimmt, wenn du die Zahlenmenge aus der a,b,c,x kommen nicht gerade unsinnig einschränkst. Wink Was du aber sicher meintest ist, ob es ein exaktes Verfahren gibt, um eine explizite Lösung angeben zu können, oder? Und für allgemeine a,b,c ist das nicht der Fall, sondern nur in so Spezialfällen wie rulli sie aufgezählt hat.
tec
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2004 - 15:49:15    Titel:

@Physikus

Ja genau

ich suchte nach einem exakten Lösungsverfahren.

Da habe ich mich wohl leider etwas falsch ausgedrückt.

Aber es war doch irgendwie cool Rullis Ausführungen zu folgen.

( ich hätte auch gern soviel Mathe drauf, oder zumindestens hätte ich gerne einen "Rulli für zuhause" Wink )

mfG
tec
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2004 - 17:48:04    Titel:

da muss ich dich enttäuschen... der rulli ist einzigartig und unverkäuflich... Wink

aber in ein paar jahren hast du sicher einen "tec für zu hause " Smile
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