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Wachstumsfunktionen
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sz1506
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Anmeldungsdatum: 07.09.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 13 Sep 2006 - 20:42:36    Titel: Wachstumsfunktionen

Kann mir einer mit folgender Aufgabe helfen? Habe sie schon "gelöst", bin damit aber nicht so ganz zufrieden.

Aufgabe:

1) Eine Regierung finanziert 10 Jahre lang 3% des (konstanten) Haushalts durch neue Kredite. Für diese zahlt sie pro Jahr 5% Zinsen. Wie groß ist nach 10 Jahren der Anteil der Zinsen am Haushalt?

2) Man überlegt nun den durch Zinszahlungen fehlenden Haushaltsteil ebenfalls durch Kredite zu finanzieren. Angenommen man hätte den Kredit aus dem ersten Jahr (d.h. 3% des Haushalts) durch Zinsen und Zinseszinsen wachsen lassen, wie groß wäre nach 10 Jahren der Kredit im Verhältnis zum Haushalt?

Antwort:
zu 1):
Wachstumsfunktion = y = f(t) = a mal e^ct (^= hoch)
a = Ausgangsgröße = 3%
t = Zeitabschnitt = 10 Jahre
c = Wachstumsfaktor = 5/100
N10 = 3 mal e^(5/100 mal 10) = 4,95%
Der Zinsanteil am Haushalt beträgt nach 10 Jahren 4,95%


zu 2):
Der Kredit wächst jährlich um 5%. Um auszurechnen, um wieviel % er nach 10 Jahren angewachsen ist wird der Aufzinszungsfaktor (1 + i)^n angewendet:
= (1 + 0,05)^10 = 1,63%
Der Kreditbetrag x würde nach 10 Jahren x mal 1,63 betragen.
Im 1. Jahr betrug der Kreditanteil am Haushalt 3%. Da dieser in 10 Jahren um 1,63 auf 4,63% angewachsen ist, beträgt der Kreditanteil am Haushalt nach 10 Jahren 4,63%.


Könnte das so hinkommen? Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das falsch ist, aber besser kriege ich es leider nicht hin. Kann mir jemand helfen?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 13 Sep 2006 - 21:30:04    Titel:

Hallo !

ich finde die Aufgaben unklar, offensichtlich muss man bereits wissen,
wie diese Aufgaben gemeint sind.

Zu 1) :
Ist das eine stetige Verzinsung (weil Du 'e' verwendest) oder eine jährliche ?
Spontan hätte ich interpretiert mit H := Haushalt pro Jahr :
Kreditkosten nach dem 1. Jahr : K1 = H*3%*(1+5%)
Kreditkosten nach dem 2. Jahr : K2 = H*3%*(1+5%) + K1*(1+5%)
denn die Kosten vom 1. Jahr müssen ja weiter verzinst werden,
oder nicht ? Wenn ja, dann haben wir
K2 = H*3%*(1+5%) + H*3%*(1+5%)^2
= H*3%*(1+5%)((1+5%)^0 + (1+5%)^1)
= H*3%*(1+5%)((1+5%)^2 - 1)/5%
Kreditkosten nach dem 3. Jahr : H*3%*(1+5%)((1+5%)^3 - 1)/5%
Kreditkosten nach dem n. Jahr : H*3%*(1+5%)((1+5%)^n - 1)/5%
Für n=10 erhalten wir H*39,6% .
Möglicherweise ist es anders gemeint, oder doch nicht ?
sz1506
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Anmeldungsdatum: 07.09.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 14 Sep 2006 - 09:05:17    Titel: Wachstumsfunktionen

Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Wir nehmen gerade Exponentialfunktionen durch, daher habe ich eine stetige Verzinsung vorausgesetzt und "e" verwendet. Sicher bin ich mir da aber nicht. Finde die Aufgabe auch sehr unklar. Ich dachte immer, Mathe sei "eindeutig"...
Fällt dir noch was zum 2. Tei der Aufgabe ein?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 14 Sep 2006 - 10:30:58    Titel:

Bei 1) habe ich nur die Gesamtschulden (inkl Zins) berechnet,
nicht den Zinsanteil - wie immer das gemeint sein mag.
Denn es geht ja - zumindest realistisch betrachtet - um den Anteil
der Schulden am Haushalt.
Vielleicht ist ja als Zinsanteil gemeint: Gesamtschuld - 10*H*3% .
Dann wäre der Zinsanteil also bei 39,6% - 10*3% = 9,6% .

Zu 2): Könnte es sein, dass damit gemeint ist, dass man sich
fürs 1.Jahr 3% leiht, fürs 2.Jahr 3%+3%*(1+5%) = 3%*((1+5%)^2 - 1)/5%,
wobei sich dann 3%*(1+5%) auf den verzinsten Betrag vom Vorjahr bezieht,
fürs 3.Jahr 3%**((1+5%)^3 - 1)/5%
etc.
fürs 10 Jahr schließlich insgesamt 3%*((1+5%)^10 - 1)/5% ,
so dass man nach 10 Jahren H*(1+5%)*3%*((1+5%)^10 - 1)/5%
Schulden zurückzuzahlen hat ?

Das ist das, was ich für 1) ausgerechnet hatte.
Also ist 1) vielleicht anders gemeint ?

Du solltest nachfragen, wie die Aufgaben genau zu verstehen sind !
Jamma
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Anmeldungsdatum: 02.09.2009
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 02 Sep 2009 - 21:22:45    Titel:

Ich stehe jetzt vor der selben Aufgabe.
Die Lösung müsste dir doch heute bekannt sein. Teile sie mir bitte mit.
Kann es sein, dass ihr die erste Aufgabe zu kompliziert gesehen habt und ganz einfach im zehnten Jahr 5% Zinsen für 3% Kredit für 10 Kredite gilt. Somit wäre im 10. Jahr der Zinsanteil 3x5%x10Jahre = 1,5%?

Bei der zweiten Aufgabe soll meiner Meinung nach nur das erste Jahr betrachtet werden. Somit wäre es eine Aufzinsung mit
K= 3% x (1 + 0,05)^10 = 4,89%, oder?
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