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(Lineare Algebra 1) Gruppe
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CHrizzy
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 18:10:28    Titel: (Lineare Algebra 1) Gruppe

Hab folgende aufgabe zu lösen, kann mir jemand helfen?

Sei (G,*) Gruppe. Zeige, für beliebige a, b,c,d e(Element aus) G gilt:


a) (a^-1)^-1 = a

(a*b)^-1 = b^-1*a^-1



b) a*b = a*c => b = c


b*a = c*a => b = c

Bin für jede hilfe sehr dankbar!!
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 15:29:14    Titel:

a) (a^-1)^-1 = a

a^-1 * (a^-1)^-1 = 1

=> (a^-1)^-1 ist das Inverse zu a^-1. Das Inverse ist eindeutig bestimmt (brauchst du dafür einen Beweis?). Das Inverse ist aber auch a, also a = (a^-1)^-1


(a*b)^-1 = b^-1*a^-1

gilt wenn (b^-1*a^-1) * (a*b) = 1, denn (a*b)^-1 ist das Inverse zu (a*b)
wegen Assoziativität:
b^-1 * (a^-1 *a) * b = b^-1 * (1 * b) = b^-1 * b = 1


b) a*b = a*c => b = c

a^-1 (a*b) = a^-1 (a*c)
(a^-1*a)b = (a^-1 *a)c


b*a = c*a => b = c
Analog (b*a*a^-1 = c*a*a^-1)
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