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Beweise mit Primzahlen
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TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 20:24:46    Titel: Beweise mit Primzahlen

Enien schönen Abend zusammen,

ich bin ein Ersti Mathe, und hab jetzt ein paar Beweise, mit denen ich nicht so recht etwas anfangen kann. Erstmal die Aufgaben:

1) Für alle x, y € FF_p gilt: (x+y)^p = x^p + y^p
2) Für alle x € ZZ gilt: p ist Teiler von (x^p - x)

"€" heißt "Element aus"
"FF" ist das F mit Doppelstrich, der Körper der Primzahlen
"_p" ist ein tiefgestelltes p, also Indexhöhe
"^" heißt "hoch"
"ZZ" sind die ganzen Zahlen
"p" sei eine Primzahl

zu 1) hätte ich einen Lösungsvorschlag:
laut Summenformel für bin. formeln:
(x+y)^p = SUMME[von k=0 bis p] ( (p über k) * x^k * y^(p-k))

das wichtige ist hier der Term (p über k), denn dieser muss, außer für k=0 und für k=p, ja null werden:

Die Multiplikation in dem Körper FF_p ist für zwei Zahlen r_1, r_2 € FF_p und < p wie folgt definiert:
r_1 * r_2 = r
wobei r der ganzzahlige Rest ist von p / (r_1*r_2)

Meine Vermutung ist, das in dem Term (p über k) = p! / (k! * (p-k)!)
das p! immer Null wird, und für k = p oder k = 0 sich vorher zweimal das p! rauskürzt.


Bin aber generell für jede Hilfe dankbar (weniger eine Lösung als eine Anregung bzw. Erklärung)! Danke schonmal im Voraus Smile.
MfG,
Tim
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 21:13:25    Titel:

Sowas mag ich am meisten. Da sieht man, jemand hat sich da was überlegt und postet nicht Faulheit usw.. So sollten die meisten Beiträge hier sein.

Deine Vermutungen sind richtig. Was dir fehlt ist absolute Trivialität: (p over k) ist ja immer in Z und hat vorne ein p dastehen!!!!!! D.h. in Z/p ist es die 0. In dem Sonderfallen k=p kürzt sich p weg und für k = 0 ist ja der andere Term da.
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 21:53:07    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:

Deine Vermutungen sind richtig. Was dir fehlt ist absolute Trivialität: (p over k) ist ja immer in Z und hat vorne ein p dastehen!!!!!! D.h. in Z/p ist es die 0. In dem Sonderfallen k=p kürzt sich p weg und für k = 0 ist ja der andere Term da.


Das beruhigt, seit anfang des Semester zweifel ich schon fast an meinen Fähigkeiten. Okay, ich zweifel dran, aber wenigsten tun das so ziemlich alle, die in der vorlesung sitzen Smile.

Hättest du auch noch etwas Unterstützung für 2)?
Da bin ich ja wirklich ratlos ("|" heißt bei uns "teilt"):
p | x^p - x = p | x*(x^(p-1) - 1).
ist das einzige, was mir an Umformung einfällt. Wenn das zweite so gilt, dann muss aus p | x ist unwahr doch folgen p | (x^(p-1) - 1), oder? wobei p-1 ja dann keine Primzahl mehr ist..

Ich würd da gern was mit Primfaktorzerlegung machen, denn wenn die Aussage wahr sein soll, so muss ja p einer der Primfaktoren sein. Ich weiß jetzt aber wieder nicht, wie ich das p da sich rausbringen kann und gleichzeitig zeige, dass der Rest dann ganz geblieben ist Smile.


Aber nochmal vielen Dank für die Antwort!
MfG,
Tim
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 22:55:01    Titel:

Die stimmt einfach nicht, denn 3^5 + 3 = 246 = 2 * 3 * 41

Wenn Du einen klügeren Einwand willst:

x^p + x = 0 in Z/p <=>
x(x^(p-1)+1) = 0 in Z/p <=> Satz von oben i)
x(x+1)^(p-1) = 0 in Z/p <=> Nullteilerfreiheit in Z/p
x = 0 oder x+1 = 0 in Z/p <=>
x = 0 oder x=p-1 in Z/p

D.h. es gilt nur für kp und (p-1)k.

Aufgabe falsch formuliert? Bin ich blöde?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 17:02:17    Titel:

Könntest Du @tim... mal kurz den Ausgang deiner Probleme posten? Das interessiert mich, weil ich ein ähnliches Problem schon mal hatte...
TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 20:22:51    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Die stimmt einfach nicht, denn 3^5 + 3 = 246 = 2 * 3 * 41

Wenn Du einen klügeren Einwand willst:

x^p + x = 0 in Z/p <=>
x(x^(p-1)+1) = 0 in Z/p <=> Satz von oben i)
x(x+1)^(p-1) = 0 in Z/p <=> Nullteilerfreiheit in Z/p
x = 0 oder x+1 = 0 in Z/p <=>
x = 0 oder x=p-1 in Z/p

D.h. es gilt nur für kp und (p-1)k.

Aufgabe falsch formuliert? Bin ich blöde?

Du hast natürlich Recht, die Aussage ist so, wie sie dasteht, falsch. Und zwar aus dem Grund, weil ich sie falsch abgeschrieben hab Smile. Korrekt lautet sie:
p | x^p - x für p prim, x € ZZ.

Die Aufgabe wurde heute in der Übung angerissen. Also:
es gilt folglich
x^p = x mod p
x^p mod p = x mod p
Man kann jetzt sozusagen so tun, als rechne man in dem Körper FF_p.
Und dann gilt nämlich genau
x^p = x mod p
Ist etwas ungenau die Begründung, ich weiß, aber ich komm grad erst aus der Uni und brauch grad mal ein wenig Abspannung. Ich wollt die gleich aber eh nochmal nachrechnen, dann schreib ich vielleicht noch näheres dazu. Außerdem ist morgen noch ein Tutorium, also kommen morgen evtl. noch weitere Erkenntnisse Smile.

Und danke für deine Hilfe, ist gut zu wissen, dass jemand Ahnung hat und mir sagen kann, ob ich auf dem richtigen Weg bin oder nicht Smile. Wenn ich kann, helfe ich dir natürlich auch gerne... Wink.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 08 Nov 2004 - 22:46:38    Titel:

Du warst es nicht. Ich habe + und - vertauscht. Sad
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