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umkehrung der kettenregel?
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Sunshine-Tini
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Anmeldungsdatum: 23.08.2006
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2006 - 09:05:46    Titel: umkehrung der kettenregel?

hallo!

bin gerade dabei für ne matheklausur zu lernen...haben vorletzte stunde stammfunktionen neu bekommen, dazu hab ich gleich mal ne frage. also an sich habe ich das integrieren verstanden, nun sind im buch dazu übungsaufgaben. das klappt auch alles, bis auf diese aufgabe:

geben Sie die stammfunktion an, ohne den funktionsterm auszumultiplizieren:

f(x)= (4x+1)^3

da weiß ich echt nicht wie ich das machen soll....differenzieren würde man ja mit der kettenregel, müsste ich hier dann zum integrieren die umkehrung der kettenregel anwenden??denn die hatten noch nicht und deshalb weiß ich nicht weiter...

wäre nett wenn mir jemand helfen könnte Smile

LG
Icealater
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Moderator


Anmeldungsdatum: 10.03.2005
Beiträge: 532

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2006 - 09:22:28    Titel:

Morgen,

Die Kettenregel besagt, dass man bei zusammengesetzten (verketteten) Funktionen die Ableitung erhält, indem man das Produkt aus äußerer und innerer Ableitung bildet.

y = F(u(x)) = f(x)

y`= dy/dx = dy/du * du/dx

Jetzt suchst Du eine Stammfunktion zu

f(x) = (4x + 1 )^3 ohne vorher die Klammer aufzulösen.

1. Schritt) Umkehrung der äußeren Abl.

1/4 * (4x + 1)^4

2. Schritt) Umkehrung der inneren Abl.

die inner Ableitung würde ja 4 ergeben ---> 1/4

Die gesuchte Satmmfunktion lautet:

1/4 * 1/4 * (4x + 1)^4 + C = 1/16 * (4x+1)^4 + C
Sunshine-Tini
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Anmeldungsdatum: 23.08.2006
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2006 - 09:38:28    Titel:

vielen dank für die antw!

aber iene fraga hätte ich nchmal:
Zitat:
die inner Ableitung würde ja 4 ergeben ---> 1/4


wie kommst du auf das 1/4? muss man bei solchen aufgaben einfach den kehrwert der inneren ableitung bilden?

lg[/b]
Icealater
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 10.03.2005
Beiträge: 532

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2006 - 09:44:43    Titel:

hab mich da wohl schlecht Ausgedrückt.

f(x) = (4x + 1 )^3

Würde man doch beim Stammintgral

1/4 * 1/4 * (4x + 1)^4 + C = 1/16 * (4x+1)^4 + C

die erste Ableitung bilden, erhielte man:

äußere Abl. * innere Abl.

4 * 1/16 * (4x+1)^3 * 4 + 0
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2006 - 10:04:43    Titel:

Vielleicht hilft dir der Weg über Substitution:

int((4*x+1)^3 dx)

z=4*x+1
dz/dx=4 |*dx ; /4
(1/4) * dz=dx

=> int((4*x+1)^3 dx)=int(z^3 * (1/4) dz=(1/4) * int(z^3 dz)=(1/4) * (1/4) * z^4 + C

Rücksubstitution (heißt das so? ^^)
int((4*x+1)^3 dx)=(1/16) * (4*x+1)^3 + C


Daraus ergibt sich auch: int((a*x+b)^n dx)=[(a*x+b)^(n+1)]/[(a*n+a)] + C
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