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Funktiongleichung ganzrational 3. Grades - Kostenfunktion
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Funktiongleichung ganzrational 3. Grades - Kostenfunktion
 
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mylinux
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Anmeldungsdatum: 19.09.2006
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 09:47:43    Titel: Funktiongleichung ganzrational 3. Grades - Kostenfunktion

Hallo

es ist bei mir leider schon über 10 Jahre her und ich komme da nicht mehr drauf. Als ich den Lösungsweg von Olivia http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=634045#634045 gelesen hatte, dachte ich mir, ich stelle hier mal die Frage:

Also die Aufgabe lautet:
Die Gesamtkosten eines Betriebes betra´gen an der Kapazitätsgrenze (Xkap = 800) 2.010.000,- EUR. Die Fiskosten belaufen sich auf 250.000 EUR, Bei der Ausbringungsmenge x=300 betragen die Gesamtkosten 610.000 EUR. Gleichzeitig geht hier die Krümmung der Gesamtkostenfunktion von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Gesamtkostenfunktion.

Also erstmal habe ich festgestellt es handelt sich um eine Gleichung 3. Grades:

F(x) = K(x) = ax³+bx²+cx+d

Die Fixkosten sind = 250.000, das heißt

K(f) = d = 250000

Ich habe den Wendepunkt der S-förmigen Kurve bei x=300
Punkt (X=300/Y=610000) an einer S-förmigen Kurve habe ich doch Extrempunkt und Wendepunkt in einem Punkt oder?

Wenn ich mich recht erinnere ist die Steigung die 1. Ableitung
F'(x)= 3ax²+3bx+c und die ist im Wendepunkt = 0
Steigung = Grenzkosten (Zunahme der Gesamtkosten je weitere Mengeneinheit).

Ein weiterer Punkt liegt bei (X=800/Y=2.010.000)

Ich komm nicht mehr drauf wie ich diese Daten verwenden kann um auf die Funktion zu kommen. Könnt Ihr mir hierzu einen Ansatz zeigen.

Besten Dank bereits an dieser Stelle.

Beste Grüße
Michael
alias mylinux

    Hallo,

    ich bin ein Stück weiter:
    habe die Bekannten Punkte eingesetzt wie folgt:

    (Hinweis zur Darstellung: hinter dem | steht was ich gemacht habe)

    F(x) = ax³ + bx² + cx + d

    P1 (X=300/Y=610.000)

    610.000 = 27.000.000 a + 900.000 b + 300 c + 250.000 | -250.000
    360.000 = 27.000.000 a + 900.000 b + 300 c | :100
    3.600 = 270.000 a + 9.000 b + 3 c | = I



    P2 (X=800/Y=2.010.000)

    2.010.000 = 512.000.000 a + 640.000 b + 800 c + 250.000 | :100
    2.010.000 = 5.120.000 a + 6.400 b + 8 c + 250.000 | -250.000
    17.600 = 5.120.000 a + 6.400 b + 8 c | = II


    c Eliminieren (Additiions- bzw. Subtraktionsverfahren):
    I 3.600 = 270.000 a + 9.000 b + 3 c | x -8
    II 17.600 = 5.120.000 a + 6.400 b + 8 c | x 3
    ------------------------------------------------------------
    I -28.800 = -2.160.000 a - 72.000 b - 24 c
    II 52.800 = 15.360.000 a + 19.200 b + 24 c | I - II = IV
    ------------------------------------------------------------
    IV 24.000 = 13.200.000 a + 52800 b | :100
    IV 240 = 1.320.000 a + 528 b

    Jetzt hänge ich für die Dritte Gleichung.
    Ich weiß ich habe einen Wendepunkt - hier müsste die Steigung = 0 sein
    d.h. 1. Ableitung = 0
    F'(x)= 3ax²+3bx + c
    F' 0 = 3a 300² + 3b 300 + c
    F' 0 = 270.000 a + 900 b + c

    kann ich diese Gleichung auch für mein Additions- bzw. Subtraktionsverfahren nehmen und wiederrum c eliminieren und mit der erhaltenen Gleichung das ganze nochmal mit Gleichung IV a oder b eliminieren un dann auflösen - einsetzen und weiter auflösen etc.

    Liege ich hier richtig??

    Wäre nett wenn mir hierzu jemand einen Tip geben könnte.

    Besten Dank
    Michael


Hatte diese Frage bereits in einen wohl schon abgeschlossenen Thread gestellt aber die wurde da wohl nicht gefunden.

Einen ersten Lösungsansatz habe ich schon raus (eingerückt).

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann, ich bekomm es nicht mehr zusammen.

Vielen Dank für die Mühen.

Beste Grüße
Michael
alias underboex
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
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BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 10:09:06    Titel:

Hallo,

bei einem Wendepunkt ist nicht die erste, sondern die zweite Ableitung 0.

Daher kannst du folgende Gleichungen aufstellen:

f''(300) = 0
f(300) = 610.000
f(0) = 250.000
f(800) = 2.010.000

Jetzt hast du 4 Gleichungen und 4 unbekannte und kannst damit die Funktion bestimmen.

PS: Woher weißt du, dass es eine Funktion 3. Grades ist?

Gruß Sascha
mylinux
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Anmeldungsdatum: 19.09.2006
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 10:57:42    Titel:

Hallo Sascha,

vielen Dank für die Schnelle Antwort.

Zu Deiner Frage:
Zitat:
PS: Woher weißt du, dass es eine Funktion 3. Grades ist?


In der Aufgabe steht:
Zitat:
Gleichzeitig geht hier die Krümmung der Gesamtkostenfunktion von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über.

das sagt mir, es handelt sich um einen S-förmigen Verlauf = ganzrationale Funktion 3. Grades

Außerdem gilt:

Bei einer Kostenfunktion interessiert nur der erste Quadrant des Koordinatenfeldes also der positive Bereich der Abzisse (X-Achse) welche die Produktionsmenge in Stück darstellt und der positive Bereich der Ordinate (y-Achse) welche die Kosten in Geldeinheiten darstellt !

Leider kann ich mich nicht an alles erinnern.

Also fasse ich Deinen Beitrag nochmal Zusammen:

Zitat:
f''(300) = 0
f(300) = 610.000
f(0) = 250.000
f(800) = 2.010.000



dann ist f(300) = 610.000 die Gleichung I
und f(800) = 2.010.000 die Gleichung II
und f(0) = 250.000 ist d

Wenn der Wendepunkt die 2te Ableitung ist, dann müsste es ja wie folgt aussehen:
f''(x) = 6ax + 2 b
f'' 0 = 6 a 300 + 2 b
f'' 0 = 1800 a + 2 b

Dann könnte ich f'' per addi-sub verfahren mit IV aufösen:

IV 240 = 1.320.000 a + 528 b
f'' 0 = 1800 a + 2 b | x -264
--------------------------------------
IV 240 = 1.320.000 a + 528 b
f'' 0 = - 475200 a - 528 b | IV + f''=V
-------------------------------------
V 240 = 844.800 a |:10
V 24 = 84480 a | : 84480
a=0,000284

Das dieses richtig ist bezweifel ich.

Wo mache ich blos den Fehler?

Beste Grüße
Michael
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:18:24    Titel:

Bei der Gleichung I hast du einen Fehler gemacht. Diese lautet:

3600 = 270000a + 900 b + 3c
mylinux
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Anmeldungsdatum: 19.09.2006
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 12:41:07    Titel: Berichtigt

Hallo Sascha,

berichtigt bedeuted das:

Zitat:
P1 (X=300/Y=610.000)

610.000 = 27.000.000 a + 90.000 b + 300 c + 250.000 | -250.000
360.000 = 27.000.000 a + 90.000 b + 300 c | :100
3.600 = 270.000 a + 900 b + 3 c | = I



P2 (X=800/Y=2.010.000)

2.010.000 = 512.000.000 a + 640.000 b + 800 c + 250.000 | :100
2.010.000 = 5.120.000 a + 6.400 b + 8 c + 250.000 | -250.000
17.600 = 5.120.000 a + 6.400 b + 8 c | = II




c Eliminieren (Additions- bzw. Subtraktionsverfahren):
I 3.600 = 270.000 a + 900 b + 3 c | x -8
II 17.600 = 5.120.000 a + 6.400 b + 8 c | x 3
------------------------------------------------------------
I -28.800 = -2.160.000 a – 7.200 b - 24 c
II 52.800 = 15.360.000 a + 19.200 b + 24 c | I - II = IV
------------------------------------------------------------
IV 24.000 = 13.200.000 a + 12.000 b | :1000
IV 24 = 13.200 a + 12 b


Wenn der Wendepunkt die 2te Ableitung ist, dann müßte es ja wie folgt aussehen:
f''(x) = 6ax + 2 b
f'' 0 = 6 a 300 + 2 b
f'' 0 = 1800 a + 2 b

Dann könnte ich f'' per addi-sub verfahren mit IV aufösen:

IV 24 = 13.200 a + 12 b
f'' 0 = 1800 a + 2 b | x -6
--------------------------------------
IV 24 = 13.200 a + 12 b
f'' 0 = - 10.800 a - 12 b | IV + f''=V
-------------------------------------
V 24 = 3000 a |: 3000
a = 0,008



a einsetzen in IV:

Zitat:
IV 24 = 13.200 . 0,008 + 12 . b

24 = 105,6 + 12 b |- 105,6
-81,6 = 12 b |:12
b = -6,8

Probe:
24 = 13.200x0,008 + 12x-6,8
24 = 105,6 – 81,6
OK


a und b einsetzen in Funktion I:

3.600 = 270.000 a + 900 b + 3 c

3600 = 270.000x0,008 + 900x-6,8 +3 c
3600 = 2160 - 6120 + 3 c
3600 = -3960 + 3 c | + 3960
7560 = 3 c | :3
c = 2520


Die Stammfunktion lautet:

f(x) = K(x) = ax³+bx²+cx+d

a = 0,008
b = -6,8
c = 2520

f(x) = K(x) =0,008x³ - 6,8 x² + 2.520x + 250.000

Probe:
P1 (X=300/Y=610.000)
610.000 = 0,008x300³ - 6,8x300² + 2.520x300 + 250.000
610.000 = 0,008x27.000.000 – 6,8x90.000 + 756.000 +250.000
610.000 = 216.000 - 612.000 + 1.006.000 |:1000
610 = 216 – 612 + 1006
OK


P2 (X=800/Y=2.010.000)
2.010.000 = 0,008x800³ - 6,8x800² + 2.520x800 + 250.000
2.010.000 = 0,008x512.000.000 - 6,8x800² + 2.520x800 + 250.000
2.010.000 = 4.096.000 - 6,8x640.000 + 2.016.000 + 250.000
2.010.000 = 4.096.000 - 4.352.000 + 2.266.000 |:1000
2.010 = 4.096 – 4.352 + 2.266
OK

Vielen Dank für den Tip - mein Denkfehler war den Wendepunkt in der 1sten Ableitung zu suchen.

Ich mach nochmal eine Zusammenfassung innerhalb der nächsten 2 Wochen.

Beste Grüße
Michael
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 12:53:22    Titel:

mylinux hat folgendes geschrieben:

Dann könnte ich f'' per addi-sub verfahren mit IV aufösen:

IV 24 = 13.200 a + 12 b
f'' 0 = 1800 a + 2 b | x -6
--------------------------------------
IV 24 = 13.200 a + 12 b
f'' 0 = - 10.800 a - 12 b | IV + f''=V
-------------------------------------
V 24 = 3000 a |: 3000
a = 0,008


13.200 - 10.800 = 2400 und nicht 3000

Bei deiner Funktion ist der Wendepunkt nicht bei 300
mylinux
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BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 13:53:21    Titel:

Hallo Sascha,

Du hast recht - ein Rechenfehler:

aber dann ist die Auflösung ebenfalls falsch


Zitat:
V 24 = 3000 a |: 3000 FEHLER
V 24 = 2400 a |: 2400
a = 0,01


a einsetzen in IV:

IV 24 = 13.200 . 0,01 + 12 . b

24 = 132 + 12 b |- 132
-108 = 12 b |:12
b = -9

Probe:
24 = 13.200x0,01 + 12x-9
24 = 132 – 108 OK


a und b einsetzen in Funktion I:

3.600 = 270.000 a + 900 b + 3 c

3600 = 270.000x0,01 + 900x-9 +3 c
3600 = 2700 - 8100 + 3 c
3600 = -5400 + 3 c | + 5400
1800 = 3 c | :3
c = 600


Die Stammfunktion lautet:

f(x) = K(x) = ax³+bx²+cx+d

a = 0,01
b = -9
c = 600

f(x) = K(x) =0,01 x³ - 9 x² + 600x + 250.000

Probe:
P1 (X=300/Y=610.000)
610.000 = 0,01x300³ - 9x300² + 600x300 + 250.000
610.000 = 0,01x27.000.000 – 9x90.000 + 180.000 +250.000
610.000 = 270.000 – 810.000 + 430.000 |:1000
610 = 270 – 810 + 430
falsch


Kommt nicht hin!

Grüße Michael
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 13:57:43    Titel:

a und b sind schon mal richtig Smile

Aber bei c hast du dich verrechnet:

mylinux hat folgendes geschrieben:

3600 = -5400 + 3 c | + 5400
1800 = 3 c | :3
c = 600


3600 + 5400 = 9000 und nicht 1800
mylinux
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Anmeldungsdatum: 19.09.2006
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 15:33:08    Titel:

Hallo Sascha,

vielen Dank - also ein Rechenfehler.

Dann hab ich den Weg ansich korrekt abgebildet.

Klasse, vielen Dank für Deine Hilfe. Das ganze habe ich mal 89/90 in der FOW und im Wintersemster 93 gemacht und bisher nie gebraucht. Meine alten Unterlagen sind zwar gut, konnten mir aber "rückwärts" nicht helfen.

Besten Dank
und beste Grüße
Michael
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