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Folge soll nicht konvergieren?
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Zdravko
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Anmeldungsdatum: 15.12.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 10:57:45    Titel: Folge soll nicht konvergieren?

Hallo da!
Ich habe eine Aufgabe zu schreiben und dabei habe ich auch Schwierigkeiten...
Gegeben ist eine unendliche Folge
An := {n/(n+1), wenn n = 2k, k>=1
-n/(n+1), wenn n=2k+1, k>=0 }
Zu zeigen ist, dass die Folge weder zu 1, noch zu -1 konvergiert.
Danke im Voraus!
MFG
Zdravko
Zdravko
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Anmeldungsdatum: 15.12.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:22:31    Titel:

Also, ich brauche ein E>0, und ihm eine Zahl n zuordnen, so dass:
|An| < E
D.h. ich muss ein Intervall [-E; +E] betrachten, wo meine Folge drin ist. Und was mache ich weiter?
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:23:07    Titel:

Wie ist denn Konvergenz definiert?

Überprüfe dann einfach die Definition an diesem Beispiel.
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:31:51    Titel:

Das ist nicht so ganz korrekt.

Du mußt für jedes E ein k finden, so dass |x_i - x| < E für alle i > k

Das heißt, dass du für jedes E praktisch einen Punkt(das k) in deiner Folge erreichst, wo alle weiteren Werte in dieser E-Umgebung liegen. Also alle weiteren Folgenwerte unterscheiden sich nur noch höchstens um E von x.

Jetzt kannst du ja mal überlegen, warum das in deinem Beispiel nicht geht.


Zuletzt bearbeitet von Sascha_tud am 27 Sep 2006 - 12:02:59, insgesamt 2-mal bearbeitet
Zdravko
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Anmeldungsdatum: 15.12.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:33:38    Titel:

Hm, das sieht aber irritierend fuer mich. Ich habe folgendes geschrieben:
Nehmen wir an, dass der Grenzwert = 1 ist. Dann gilt:
|An-1| < E
Daraus folgt, dass:
n > (-1-E)/E
und
n > (1-E)/E
Das ist nur fuer den Fall n = 2k.
Ich bitte Sie um Hilfe.
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:47:59    Titel:

Also ich versuchs mal unkompliziert:

Du mußt zeigen, dass es für jedes E ein Punkt gibt, ab dem |x_i - 1| < E

Jetzt weißt du aber, dass die Folge für ungerade i immer negativ ist. Denn -n/(n+1) < 0

Also hast du |-i/(i+1) - 1| > 1, da der Term im Betrag immer kleiner als 1 ist. Und das gilt für alle i.

Also kann es für kein E < 1 ein i geben, so dass die obige Bedingung stimmt.
Zdravko
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Anmeldungsdatum: 15.12.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 11:54:55    Titel:

Ok, danke seher! Das habe ich verstanden. Dies beweist den Fall: ungerade n, grenzwert != 1.
Muss ich noch weitere Faelle untersuchen?
Sascha_tud
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Anmeldungsdatum: 18.09.2006
Beiträge: 110
Wohnort: Nähe Frankfurt

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 12:01:50    Titel:

Da ungerade n ja immer wieder vorkommen, hast du so bewiesen, dass die Folge nicht gegen 1 konvergiert.

Jetzt mußt du das ganze halt noch für gerade n und -1 machen. Aber das geht ganz analog.
Zdravko
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Anmeldungsdatum: 15.12.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 27 Sep 2006 - 12:04:42    Titel:

Danke sehr! So habe ich es auch gemacht!
Im 2 Fall wird An+1>1, d.h. |An+1|<E gilt nicht immer, also -1 kann nicht der Grenzwert sein!
Danke noch einmal!
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