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Liegt der Punkt auf der Ebene?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Liegt der Punkt auf der Ebene?
 
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PhilipW
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2006 - 19:35:10    Titel: Liegt der Punkt auf der Ebene?

Hi Leute


es geht um die Folgende Ebenengleichung:




Wir sollen prüfen, ob die Punkte A (8;3;14) B (1;1;0) und C (4;0;11) auf dieser Ebene liegen.

Für den Punkt A bin ich folgendermaßen vorgegangen:



und dann:

2r + 3s + 3 = 1
1r + 2s = 3
7r + 5s + 2 = 14

das in eine Matrix eingegeben kam raus, dass r und s beide 1 sind.


Wie aber mache ich das für den Punkt B?




2r + 3s + 3 = 1
1r + 2s = 1
7r + 5s + 2 = 0

Wenn ich das in eine Matrix eingebe

2 3 3 1
1 2 0 1
7 5 2 0

kommen drei Werte als Lösung heraus (??) da stimmt was nicht....



Kann mir jemand helfen, wie man das machen muss?


Grüße
armchairastronaut
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2006 - 19:44:43    Titel:

also auf drei Werte bin ich nicht gekommen, aber der zweite Punkt liegt definitiv nicht auf der Ebene.
1=3+2r+3s
1=0+1r+2s

Ziehe die voneinander ab und es kommt raus: r+s=-3

Schau dir die dritte Gleichung an:
0=2+7r+5s
0=2+2r+5*(r+s)
also
0=2+2r-15
woraus folgt: r=6,5
woraus folgt: s=-9,5

Dass du damit die ersten beiden Gleichunge nnicht erfüllen kannst, wird unmittelbar klar.
PhilipW
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2006 - 20:04:26    Titel:

Aber kann ich nicht auch einfach die Matrix Funktion zur Hilfe nehmen?

Was bedeuten denn meine 3 Ergebnisse in meiner Matrix (s. oben)?

Muss ich das so verstehen, dass es keine Lösung gibt und der Punkt somit nicht auf der Ebene liegt?

Gruss
armchairastronaut
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2006 - 20:22:52    Titel:

Wenn du auf keine eindeutige Lösung kommst, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2006 - 20:40:35    Titel: Re: Liegt der Punkt auf der Ebene?

PhilipW hat folgendes geschrieben:



und dann:

2r + 3s + 3 = 1
1r + 2s = 3
7r + 5s + 2 = 14



sollte doch schon mal heissen:
2r + 3s = 5
1r + 2s = 3
7r + 5s =12

(III) -[ (I)+(II)] ==> 4r = 4 ==> r = 1 ==> s = 1
PhilipW
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2006 - 22:50:10    Titel:

ah stimmt, das kann man natürlich gleich zusammenfassen von

2r + 3s +3 = 1 zu 2r + 3s = -2

aber ohne es zusammenzufassen geht es doch auch, oder?
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 29 Sep 2006 - 09:01:21    Titel:

PhilipW hat folgendes geschrieben:

aber ohne es zusammenzufassen geht es doch auch, oder?


ja, geht auch ohne.

Gruss:


Matthias
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Sep 2006 - 09:32:21    Titel:

Mal so nebenbei ein Trick (der aus der Richtung der projektiven Geometrie kommt) wie man schnell prüfen kann, ob ein Punkt das tut, ohne LGS. Angenommen, man hat einen Punkt (u,v,w) und eine Ebene ax+by+cz +d = 0. Dann liegt der Punkt gdw. auf der Ebene, falls gilt (a,b,c,d)^t(u,v,w,1) = 0. Ist doch einen Tick leichter, als LGS zu lösen.
PhilipW
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2006 - 17:20:30    Titel:

Hallo Leute,

brauche bitte nochmal Hilfe.

Diesmal sind es zwei Geradengleichungen in Parameterform (im Raum)

die eine

g: x = (2;1;1) + r (0;1;1)

h: x = (1;1;1) + s (0;2;2)

diese beiden Geraden sind parallel, weil der zweite Vektor ein Vielfaches des ersten ist.

Jetzt möchte ich noch gucken ob die beiden Geraden identisch sind.

Dazu gucke ich, ob der Stützpunkt der Geraden h auch ein Punkt der Geraden g ist.

Ich setze (1;1;1) = (2;1;1) + r (0;1;1)

Wenn ich das jetzt so aufschreibe:

0r + 2 = 1
1r + 1 = 1
1r + 1 = 1

dann erhalte ich r = 0.

Aber wenn r = 0 ist, dann komme ich nie auf den Punkt (1;1;1) sondern höchstens auf (2;1;1)

Hilfe?

Bitte bis heute Abend spätestens...

Achso, das Problem ist, die Geraden SIND identisch... !
Aber laut Rechnung halt nicht..

Gruß
Peneli
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2006 - 17:23:55    Titel:

Die Geraden sind nicht identisch.
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