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Nochmal Folgen und Reihen
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MuM
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Nov 2004 - 17:05:34    Titel: Nochmal Folgen und Reihen

Abschlussprüfung 2004; Folgen und Reihen!

Also: (wichtig ist nur 2.4 davor ist nur blabla zum lösen der Aufgabe!) Confused

Eine Kugel aus Gummi wird senkrecht nach oben katapultiert. Sie legt beim Steigen in jeder Sekunde 9,81 m weniger zurück als in der vorhergehenden.

2.1 Berechnen Sie, wie lange die Kugel steigt, wenn sie in der ersten Sekunde eine Höhe von 88,29 m erreicht!

Ergebnis = 10 Sekunden

2.2 Berechnen Sie die maximale Steigungshöhe, die die Kugel erreicht!
Ergebnis= 441,45

2.3 ......

Die Kugel fällt anschließend wieder zurück auf den Boden, wo sie nach jedem Bodenkontakt nur noch 75% ihrer vorherigen Ausgangshöhe erreicht!

2.4 Berechnen Sie, welchen Weg die Kugel vom Abschuss aus zurücklegt, bis sie auf dem Boden liegen bleibt?

Meine Frage ist:

Wenn ein prozentsatz angegeben ist hört doch die kugel nie auf zu hupfen und es gibt eigentlich kein RICHTIG Ergebnis oder?
Rolling Eyes
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2004 - 17:55:04    Titel:

doch, es gibt natürlich gibt es ein exaktes ergebnis... lies die frage nur richtig...!

du hast schon recht dass sie nie ruhig liegen bleibt, oder anders gesagt, sie bleibt erst nach ner unendlich langen zeit auf dem boden liegen...
aber nirgends steht dass nur weil sie sich unendlich lang bewegt, auch ne unendlich weite strecke zurücklegen muss!!!!
es wird ja nur die strecke gefragt die sie in dieser unendlich langen zeit zurück legt...

also, beim ersten mal erreicht sie ja ne höhe von h = 441,45
das heisst sie legt beim ersten mal ne strecke von 2h zurück

beim zweiten mal ist die höhe 3h/4, und somit die strecke 3/4 *2h

beim dritten mal ist die höhe 3/4 * 3/4 *h = (3/4)^2 *h, und somit die strecke (3/4)^2 *2h

...
beim n-ten mal ist die höhe (3/4)^(n-1) *2h, und somit die strecke (3/4)^(n-1)*2h

dann ist die gesamtstrecke
s = 2h + 3/4 *2h + (3/4)^2 *2h + ...+ (3/4)^n *2h+...
= 2h (1 + 3/4 + (3/4)^2+...)
= 2h Sum[n=0][unendlich] (3/4)^n

das ist ne geometrische reihe... da 0< 3/4 < 1 konvergiert die reihe, und ihre summe ist bekanntlich 1/ (1-3/4) = 4
(bin mir bei der summe nicht mehr 100% sicher wie der ausdruck ist... hatte aber keine lust ihn nachzuschlagen)

also s = 8h
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 17:29:32    Titel:

Ich habe es einscheinend immer noch nicht kapiert! Rolling Eyes

Eine Kugel fliegt hoch und fällt wieder runter!
sie fliegt danach immer nur die 3/4 strecke der vorherigen! (=q)
ABER sie hört nicht auf zu hupfen da man nie der wert 0 (=h) hernauskommen kann! Deshalb ist es doch mathematisch nicht errechenbar? oder?
da man immer noch ein stückchen und noch ein stückchen dazuzählen muss! und das unendlich mal!
Also kann man NIE den exakten wert errechnen oder?
Sad

WENN SCHON (auf Phsyk bezogen): Exclamation Crying or Very sad
würde es auch in weiter zukunpft kein Uran und ähnliches mehr geben oder? Trotz halbzeitwerten!

Vielen Dank für euere Antwort!

MuM
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 18:10:52    Titel:

eigentlich wurde die antwort schon gegeben. ich wiederhole einfach nochmal:

Die kugel hüpft (theoretisch) ewig, die dabei zurückgelegte strecke ist allerdings konvergent. Sie wird nie das 4-fache der anfangshöhe überschreiten.
MuM
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 14:59:51    Titel:

das habe ich schon kapiert dass das nie über das 4 fache der Ausgangshöhe geht. Aber man kann KEIN exaktes Ergebnis liefern Exclamation Question Exclamation oder?
Bumble
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 17:15:18    Titel:

Man kann ein exaktes Ergebnis liefern, obwohl die Kugel nie aufhört zu hüpfen.
denn sie erreicht immer nur (3/4) der vorher erreichten Höhe.
Also setzen wir h= 441,45m
Jetzt zur Berechnung:
Beim 0.Mal springt Kugel : (3/4)^0 * 2h (Abschusshöhe ((3/4)^0=1)immer 2h da die Kugel auch wieder runterfällt, d.h. 1.h Weg nach oben, 2.h Weg nach unten)
Beim 1.Mal springt Kugel : (3/4)^1 * 2h (also nach Abschuss + 1.Sprung (3/4)^0 * 2h + (3/4)^1 * 2h)
dies geht nun unendlich oft so weiter. Daraus ergibt sich dann folgende Berechnung:
(3/4)^0*2h+(3/4)^1*2h+…+(3/4)^n*2h = gesamte zurückgelegte Strecke
(3/4)^0*2h+(3/4)^1*2h+…+(3/4)^n*2h = Summe (von k=0 bis n) (3/4)^k*2h | *(3/4) (I)
(3/4)^1*2h+(3/4)^2*2h+…+(3/4)^(n+1)*2h = (3/4)* Summe (von k=0 bis n) (3/4)^k*2h | -(I)
(3/4)^(n+1) – 2h = -(1/4)* Summe (von k=0 bis n) (3/4)^k*2h | *(-4)
8h – 4*(3/4)^(n+1) = Summe (von k=0 bis n) (3/4)^k*2h
da (3/4)^(n+1) für n gegen Unendlich gegen Null geht, folgt daraus dass
(3/4)^(n+1) unheimlich klein wird aber größer als Null bleibt z.B. 10^(-1000000000000000) also zu vernachlässigen ist und gleich Null gesetzt wird.
8h – 0 = 8h ist. 8h = 8*441,45

Ich hoffe, dass dir diese Erklärung vielleicht mehr bringt, ist nämlich dieselbe, die Rulli dir gab nur mit anderen Worten und mit mehr Rechenschritten.
MuM
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 22:07:43    Titel:

Ja und Nein!
Verstanden habe ich es schon von anfang an! unser Mathelehrer hat es uns ja auch so erklärt ABER wenn man etwas vernachlässigt ist das ergebnis nicht exakt oder? Es ist nur ungefähr oder?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 22:14:25    Titel:

in diesem fall ist es aber exakt!
du hörst ja nirgends auf, sondern gehst bis unenndlich!
wenn du nach n hüpfern aufhören würdest, dann wäre es nur approximativ.
diese rechnung aber hört nicht auf nach einer bestimmten anzahl, sondern sie enthält unendlich viele terme
MuM
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Nov 2004 - 22:21:14    Titel:

Anscheinend bin ich total blöd! Rolling Eyes

Naja, wenn Wegstrecke=3531,60 ist also Sn=3531,60 könnte man n errechnen! logischer Weise funktioniert das nicht da lg0!
(sonst wäre sie endlich)
also wird eigentlich nie der wert 3531,60 erreicht sondern nur: 3531,59999999999999999999999999999999999999 u.s.w.

oder?
Bumble
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Nov 2004 - 01:39:20    Titel:

das ist ja von der Logik her wie, wenn man
0,3 periode (0,3333 usw. dies entspricht (1/3))
wenn du dies nun mal drei nimmst könntest du ja auch sagen
(1/3)*3 wäre nicht eins sondern 0,99999999usw.
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