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Interessante Induktionsaufgabe
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DJ
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Nov 2004 - 18:06:59    Titel: Interessante Induktionsaufgabe

Hallo erstmal. Hab hier eine interessante Aufgabe. Wenn jemand weiss, wie ich hier anfangen soll, schreibt bitte.
Sei n eine natürliche Zahl. Wieviele Tripel (k1,k2,k3) € |N³ gibt es, die k1+k2+k3=n erfüllen?
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 00:06:38    Titel:

Wenn fuer k1,k2,k3 auch die 0 zugelassen wird, gibt es:

((3+n-1) über (3-1) ) Möglichkeiten.

Wenn die 0 nicht zugelassen wird gibt es: ((n-1) über (3-1)) Möglichk.

-ohne gewähr -

cu..
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 00:32:48    Titel:

Die Endlösung ist mir schon bekannt, aber wie komme ich dazu?
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 14:54:53    Titel:

Hi,

ich verweise mal auf das Buch "Diskrete Strukturen (Band1)"
von Angelika Steger.
Daher kommt folgende Erklärung:

Betrachten wir die Gleichung:
k1+k2+.....+kz = n , mit k1,...,kz € N und n >= z
Diese Gleichung hat natuerliche Lösungen.
Wenn wie hier die 0 nicht zugelassen wird, entspricht die anzahl der Lösungen genau den geordneten Zahlenpartitionen von n mit z summanden. Es gibt daher ((n-1) über (z-1)) Möglichkeiten.

Was ändert sich nun, wenn wir die 0 doch zulassen?
Auch hier kann man die Anzahl der Lösungen recht einfach bestimmen.
Dazu betrachten wir:
k1+k2+...+kz = n <=> (k1+1)+....+(kz+1)=(n+z)

Hier reicht es, die Lösungen der 2ten Gleichung zu zählen. Und da in der Gleichung zu jeder Variablen eine 1 dazuaddiert wird, müssen wir einfach
nur die Lösung der Gleichung in N betrachten (ohne 0 )
Und da wissen wir schon, dass die Gleichung
((n+z-1) über (z-1)) Möglichkeiten hat.
(Geordnete Zahlenpartitionen von n mit z summanden)

Hoffe hat geholfen...cu
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 19:31:04    Titel:

Das hat mir sehr geholfen Smile Ich bin sehr sehr dankbar. Und noch mal danke Very Happy
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