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Von Kepler inspirierte Aufgabe
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BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 17:16:15    Titel: Von Kepler inspirierte Aufgabe

Hi.

Ich habe Mathematik LK in der elften Klasse, und ich habe diese Aufgabe bekommen:

Zitat:

Von Johannes Keplers ineinander geschachtelten platonischen Körpern, welche die Planetenbahnen symbolisieren sollten, ist folgende Konstruktion inspiriert: Dem Einheitskreis wird ein gleichseitiges Dreieck umbeschrieben, und diesem wieder ein Kreis. Letzterem wird ein Quadrat umbeschrieben, diesem wieder ein kreis - und auf diese Weise geht es mit Fünfeck - Kreis - Sechseck - Kreis ohne Ende weiter.
Gesucht ist der Grenzwert der Kreisradien (sofern er existiert).


Eine Formel zur Berechnung des Radius ist gegeben:

R(k) = R(k-1) / cos (Pi / k); R(2) = 2 ist Startglied, k die Anzahl der Ecken des Vielecks, das den zu berechnenden Kreis umschreibt. (Bogenmaß)

Diese Formel kann ich auch beweisen, das kann also mal gerade beiseite gelassen werden.
Was ich allerdings nicht kann, ist den Grenzwert exakt auszurechnen. Durch Ausprobieren mit Excel weiß ich ich, dass der Grenzwert etwa 8,7 ist, doch ich weiß wirklich nicht, wie ich ihn exakt bestimmen soll. Ich habe versucht, das ganze in den Taschenrechner einzugeben, aber die Limitfunktion hat Probleme mit der Rekursion und ganz generell ist es auch schwierig, weil R(2) das Startglied ist.

Ich suche also optimalerweise eine Berechnung des Grenzwertes oder auch eine Anregung, wie man das Problem angehen könnte.

Danke.
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