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gaußsche emliminationsverfahren
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Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 18:50:36    Titel: gaußsche emliminationsverfahren

hi, ich schreib morgen mathe und brauch dringend hilfe, wie kann ich mit dem genannten verfahren eine gleichung mit 4 unbekannten lösen??? versteh alles bis man anfängt an igrendwelchen gleichungen die mit einer bestimmten zahl malzunehmen?? wie gehts dann weiter?? kanns einer erklären??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 19:42:27    Titel:

Du schreibst deine Gleichungen nach den Variablennamen geordnet untereinander. Dann steht sowas, wie hier da:

a_11 * x + a_12 * y + a_13 * z .... = b_1
a_21 * x + a_22 * y + a_23 * z .... = b_2
a_31 * x + a_32 * y + a_33 * z .... = b_3
...

Beachte, dass wenn eine Variable fehlt dies durch 0 * y z.B. ersetzt werden kann. Somit hast Du die obige Darstellung immer.

Zunächst die nicht Ausnahmefälle. Der Witz ist, dass Du unter bestimmte Voraussetzungen das ganze so umformen kannst, dass die Variable x genau in 1 Gleichung vorkommt. Dazu suchst Du so eine Zahl z, dass a_21- a_11 * z = 0 ist. Wenn Du dann die erste Gleichung mit z multiplizierst (was eine Äquivalenzumformung für das ganze System darstellt) und von der Zweiten subtrahierst (was ebenfalls eine ist), dann bekommst Du in der zweiten Gleichung

-a_11 * z x + a_21 x + ... (ohne x) ... = b_2 - b_1 * z

Wegen x (a_21 - a_11*z) = x * 0 = 0 verschwindet x aus der zweiten Gleichung. Dann machst Du genau dasselbe mit a_11 und a_31 usw. Wenn du es mit allen Gleichungen gemacht hast ist x nur in Gleichung 1 vorhanden.

So jetzt gibt es einen Hacken an der Geschichte. Wenn a_11 = 0 ist, dann geht nix, weil 0 * irgendwas = 0 ist. Wie kommst Du da raus? Du vertauschst die Zeilen in deinem System. Wenn Du x überhaupt hast, so muss mindestens ein a_i1 ungleich 0 sein. Die Gleichung vertauschst Du mit der esrten. Sonst hast Du x gar nicht anschauen müssen.

Wie geht es weiter? Wenn Du die erste Zeile wegwirfst, so hast Du wieder ein System mit einer Gleichung und einer Variablen weniger. Fange damit von vorne an. Wenn keine Gleichungen mehr das sind bist Du fertig.
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 19:56:23    Titel:

bei uns waren des immer 4 gleichungen mit 4 unbekannten in der form im beispiel 3. grade)

f(x)=ax³+bx²+cx+d

glaub du meinst was anderes oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2004 - 20:06:46    Titel:

Das gausssche Eliminationsverfahren ist ein Teil des konstuktiven Lösungsverfahrens für ein System von linearen Gleichungen der obigen Form.

Zu deinem Problem. Was Du wohl meinst ist die naive Polynominterpolation durch lineare Gleichungssysteme. Du hast eine Funktion, gegeben durch 4 auswertungsstellen (x_i;y_i). Du willst ein Polynom (höchstens) vom Grad 3 bekommen, dass durch diese Auswertungsstellen durchgeht. Falls deine Ausgangsfunktion auch ein Polynom vom (höchstens) Grad 3 war, so stimmt diese mit der Interpolierten überein.

also z.B. Du hast (a_1,b_1), (a_2,b_2), (a_3,b_3) und (a_4,b_4) die Auswertungsstellen. Dann kannst Du diese in die allgemeine Form eines Polynoms vom (höchstens) Grad 3 einsetzen und bekommst:

b_1 = a (a_1)^3 + b*(a_1)^2 + c*(a_1)+ d
.
.
.
b_4 = a (a_4)^3 + b*(a_4)^2 + c* a_4) + d

Das ist ein System, wie oben in den Unbekannten a, b, c und d. Die Lösung ebenfalls wie oben.

Wenn das nicht dem Entspricht, was Du meinst, so ist es auch kein Gausssches Eliminationsverfahren.
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